Convergenza integrale con parametro
Ciao! Avrei bisogno di una mano per risolvere un problema..
Dire, al variare del parametro $ a>=0 $ , se è convergente l'integrale:
$\int_{0}^{infty} (|log (|cosx^a|)|/(e^(x^2)-1) + sqrt(x)|sin(x^(-2a))|)dx$
Ho fatto tutti gli sviluppi di Taylor ottenendo:
$\int_{0}^{infty}((|-(x^(2a))/2|/x^2)+sqrt(x)(x^(-2a)))dx$
A questo punto studierei il $ lim x-> 0^+$ e $ lim x-> infty$ di tutta la funzione.
Il problema è che non so se studiare tutta la funzione in $0^+$ e $infty$ oppure dividerla e studiare separatamente i limiti per $(|-(x^(2a))/2|/x^2)$ e per $sqrt(x)(x^(-2a))$
Grazie
Dire, al variare del parametro $ a>=0 $ , se è convergente l'integrale:
$\int_{0}^{infty} (|log (|cosx^a|)|/(e^(x^2)-1) + sqrt(x)|sin(x^(-2a))|)dx$
Ho fatto tutti gli sviluppi di Taylor ottenendo:
$\int_{0}^{infty}((|-(x^(2a))/2|/x^2)+sqrt(x)(x^(-2a)))dx$
A questo punto studierei il $ lim x-> 0^+$ e $ lim x-> infty$ di tutta la funzione.
Il problema è che non so se studiare tutta la funzione in $0^+$ e $infty$ oppure dividerla e studiare separatamente i limiti per $(|-(x^(2a))/2|/x^2)$ e per $sqrt(x)(x^(-2a))$
Grazie
Risposte
Lo sviluppo di Taylor (che non è uno sviluppo di Taylor, tra l’altro) sotto il segno di integrale è una schifezza raramente vista ed estremamente insopportabile alla vista.
Per favore, levalo di lì.
Per il resto, dove vale quella specie di approssimazione asintotica che hai scritto?
Per favore, levalo di lì.
Per il resto, dove vale quella specie di approssimazione asintotica che hai scritto?
D'accordo allora diciamo che sviluppando i vari termini ho ottenuto $(|-(x^(2a))/2|/x^2)+sqrt(x)(x^(-2a))$
Da studiare per $x-> 0^+$ e $x->infty$
Da questo punto non so come procedere.
Ti ringrazio per la risposta simpatica ma è evidente che ho bisogno di aiuto, altrimenti non avrei chiesto.
Da studiare per $x-> 0^+$ e $x->infty$
Da questo punto non so come procedere.
Ti ringrazio per la risposta simpatica ma è evidente che ho bisogno di aiuto, altrimenti non avrei chiesto.
Ciao Itsgres95,
Considera che si ha:
$ log|cos(x^a)| = log\sqrt{1 - sin^2 (x^a)} = 1/2 log[1 - sin^2(x^a)] $
Poi escluderei $a = 0$, dove si vede subito che l'integrale proposto non converge.
Considera che si ha:
$ log|cos(x^a)| = log\sqrt{1 - sin^2 (x^a)} = 1/2 log[1 - sin^2(x^a)] $
Poi escluderei $a = 0$, dove si vede subito che l'integrale proposto non converge.
Ciao pilloeffe,
D'accordo, grazie.
Io invece ho sviluppato i termini in questo modo:
$cos(x^a) ~ 1- (x^(2a)/2)$
$log[1-(x^(2a)/2)] ~ -(x^(2a))/2$
$sin(x^(-2a))= sin(1/x^(2a)) ~ x^(-2a)$
Ecco perchè ho ottenuto la cosa che ho scritto sopra
"pilloeffe":
$ log|cos(x^a)| = log\sqrt{1 - sin^2 (x^a)} = 1/2 log[1 - sin^2(x^a)] $
Poi escluderei $ a = 0 $, dove si vede subito che l'integrale proposto non converge.
D'accordo, grazie.
Io invece ho sviluppato i termini in questo modo:
$cos(x^a) ~ 1- (x^(2a)/2)$
$log[1-(x^(2a)/2)] ~ -(x^(2a))/2$
$sin(x^(-2a))= sin(1/x^(2a)) ~ x^(-2a)$
Ecco perchè ho ottenuto la cosa che ho scritto sopra
"gugo82":
Per il resto, dove vale quella specie di approssimazione asintotica che hai scritto?
Intorno a $0$?
Intorno a $+oo$?
Studierei $\lim_{x \to \0^+} (|-(x^(2a))/2|/x^2)$ e $ \lim_{x \to \infty} sqrt(x)(x^(-2a)) $
Ma dai... Fai le cose per bene.
Stai mischiando robe che non c’entrano le une con le altre.
Gli esercizi si fanno un passo alla volta.
Cosa succede per $x -> 0$?
Cosa succede per $x -> +oo$?
Stai mischiando robe che non c’entrano le une con le altre.
Gli esercizi si fanno un passo alla volta.
Cosa succede per $x -> 0$?
Cosa succede per $x -> +oo$?
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