Convergenza integrale con parametro
Salve a tutti!
Devo risolvere questo esercizio, e mi sta creando un pò di problemi..avrei bisogno del vostro aiuto
L'esercizio mi chiede di stabilire la convergenza degli integrali al variare del parametro α nell'intervallo [0,+infinito)
So che occorre fare i limiti per i due estremi, ma in questo caso non riesco a svolgerli! ( sono negata con il calcolo dei limiti )
Le due funzioni integrande sono:
$ [arctanx^α + |senx|]/[x^(3/2)*log(2-x)] $
(in questo caso, per x->0 ho usato l'asintotico, ma non sono sicura di averlo svolto correttamente. Potreste illustrarmi i paggaggi? )
e
$ [sen^(2)x]/[ x^(1/2)+x^(α) ] $
Grazie mille in anticipo!
Devo risolvere questo esercizio, e mi sta creando un pò di problemi..avrei bisogno del vostro aiuto
L'esercizio mi chiede di stabilire la convergenza degli integrali al variare del parametro α nell'intervallo [0,+infinito)
So che occorre fare i limiti per i due estremi, ma in questo caso non riesco a svolgerli! ( sono negata con il calcolo dei limiti )
Le due funzioni integrande sono:
$ [arctanx^α + |senx|]/[x^(3/2)*log(2-x)] $
(in questo caso, per x->0 ho usato l'asintotico, ma non sono sicura di averlo svolto correttamente. Potreste illustrarmi i paggaggi? )
e
$ [sen^(2)x]/[ x^(1/2)+x^(α) ] $
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Secondo me l'argomento del logaritmo è sbagliato, presumo sia $2+x$
Devi fare tutti i casi per quanto riguarda le potenze.
Ad esempio: se $a>0$ hai che:
$\frac{\arctan x^{a}+|\sin x|}{x^{3/2}\log(2+x)}\leq\frac{1}{x^{3/2}\log(2+x)}\approx\frac{1}{x^{3/2}\log(x)}\leq\frac{1}{x^{3/2}}$
e questo dovresti sapere come si comporta.
Attenta quando vai a considerare esponenti negativi o uguali a 0...
Devi fare tutti i casi per quanto riguarda le potenze.
Ad esempio: se $a>0$ hai che:
$\frac{\arctan x^{a}+|\sin x|}{x^{3/2}\log(2+x)}\leq\frac{1}{x^{3/2}\log(2+x)}\approx\frac{1}{x^{3/2}\log(x)}\leq\frac{1}{x^{3/2}}$
e questo dovresti sapere come si comporta.
Attenta quando vai a considerare esponenti negativi o uguali a 0...
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x^{\alpha}+|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln(2-x)}
\end{align}
anzitutto osserviamo che la funzione integranda è definita per $0
\begin{align}
\frac{\arctan x^{\alpha}+|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln(2-x)}\sim \frac{ x^{\alpha}+| x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }\sim\frac{ x^{\alpha}+x}{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }=\begin{cases}
&\mbox{se}\,\,\,\alpha>1\quad \sim\frac{ x}{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }\sim \frac{1}{x^{\frac{1}{2} }\ln2 }\to\mbox{converge}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha=1\quad \sim\frac{ 2x}{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }\sim \frac{ 1}{x^{\frac{1}{2} }\ln2 }\to\mbox{converge}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha<1\quad \sim\frac{ x^{\alpha} }{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }\sim\frac{ 1}{x^{\frac{3}{2}-\alpha}\ln2 }\to\mbox{converge se }\,\,\,\alpha >1/2
\end{cases}
\end{align}
Se $x\to1^-$ la funzione integranda mantiene segno costante positivo, mentre per $x\to1^-$ mantiene segno costante negativo: in ogni caso mantiene segno costante, quindi possiamo ancora applicare il confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{\arctan x^{\alpha}+|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln(2-x)}\sim \frac{C}{1-x } \to\mbox{non converge }
\end{align}
infine Se $x\to2^-$ la funzione integranda mantiene segno costante negativo: applicando il confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{\arctan x^{\alpha}+|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln(2-x)}\sim \frac{C}{\ln(2-x) } \to\mbox{non converge }
\end{align}
dunque nell'intervallo $(0,2)$ l'integrale non converge.
Per il secondo il procedimento è lo stesso:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}
\end{align}
in questo caso la funzione integranda è definita positiva in $(0,\+infty)$ considerando il comportamento asintotico abbiamo:
se $x\to0^+$
\begin{align}
\frac{\sin^2 x}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}\sim \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}\sim \begin{cases}
&\mbox{se}\,\,\,\alpha>1/2\quad \sim \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}} }=\frac{ 1}{x^{\frac{1}{2}-2} }\to\mbox{converge poichè continua in $0$}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha=1/2\quad \sim \frac{x^2}{2x^{\frac{1}{2}} }\sim \frac{ 1}{x^{\frac{1}{2}-2}}\to\mbox{converge poichè continua in $0$}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha<1/2\quad \sim\frac{x^2}{ x^{\alpha}}=\frac{ 1}{ x^{\alpha-2}}\to\mbox{converge se }\,\,\,\alpha <3
\end{cases}
\end{align}
dunque per ogni valore di$\alpha$ l'integrale converge in un intorno di $0;$
se $x\to+\infty$
\begin{align}
\frac{\sin^2 x}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}\le \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}\sim \begin{cases}
&\mbox{se}\,\,\,\alpha>1/2\quad \sim \frac{1}{x^{\alpha} } \to\mbox{converge se} \alpha >1 \\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha=1/2\quad \sim \frac{ 1}{2x^{\frac{1}{2}} }\to\mbox{non converge}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha<1/2\quad \sim\frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}} \to\mbox{non converge }
\end{cases}
\end{align}
in definitiva l'integrale converge nell'intervallo $(0,+\infty)$ se $\alpha >1$
\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x^{\alpha}+|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln(2-x)}
\end{align}
anzitutto osserviamo che la funzione integranda è definita per $0
\begin{align}
\frac{\arctan x^{\alpha}+|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln(2-x)}\sim \frac{ x^{\alpha}+| x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }\sim\frac{ x^{\alpha}+x}{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }=\begin{cases}
&\mbox{se}\,\,\,\alpha>1\quad \sim\frac{ x}{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }\sim \frac{1}{x^{\frac{1}{2} }\ln2 }\to\mbox{converge}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha=1\quad \sim\frac{ 2x}{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }\sim \frac{ 1}{x^{\frac{1}{2} }\ln2 }\to\mbox{converge}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha<1\quad \sim\frac{ x^{\alpha} }{x^{\frac{3}{2}}\ln2 }\sim\frac{ 1}{x^{\frac{3}{2}-\alpha}\ln2 }\to\mbox{converge se }\,\,\,\alpha >1/2
\end{cases}
\end{align}
Se $x\to1^-$ la funzione integranda mantiene segno costante positivo, mentre per $x\to1^-$ mantiene segno costante negativo: in ogni caso mantiene segno costante, quindi possiamo ancora applicare il confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{\arctan x^{\alpha}+|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln(2-x)}\sim \frac{C}{1-x } \to\mbox{non converge }
\end{align}
infine Se $x\to2^-$ la funzione integranda mantiene segno costante negativo: applicando il confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{\arctan x^{\alpha}+|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}\ln(2-x)}\sim \frac{C}{\ln(2-x) } \to\mbox{non converge }
\end{align}
dunque nell'intervallo $(0,2)$ l'integrale non converge.
Per il secondo il procedimento è lo stesso:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}
\end{align}
in questo caso la funzione integranda è definita positiva in $(0,\+infty)$ considerando il comportamento asintotico abbiamo:
se $x\to0^+$
\begin{align}
\frac{\sin^2 x}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}\sim \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}\sim \begin{cases}
&\mbox{se}\,\,\,\alpha>1/2\quad \sim \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}} }=\frac{ 1}{x^{\frac{1}{2}-2} }\to\mbox{converge poichè continua in $0$}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha=1/2\quad \sim \frac{x^2}{2x^{\frac{1}{2}} }\sim \frac{ 1}{x^{\frac{1}{2}-2}}\to\mbox{converge poichè continua in $0$}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha<1/2\quad \sim\frac{x^2}{ x^{\alpha}}=\frac{ 1}{ x^{\alpha-2}}\to\mbox{converge se }\,\,\,\alpha <3
\end{cases}
\end{align}
dunque per ogni valore di$\alpha$ l'integrale converge in un intorno di $0;$
se $x\to+\infty$
\begin{align}
\frac{\sin^2 x}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}\le \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\alpha}}\sim \begin{cases}
&\mbox{se}\,\,\,\alpha>1/2\quad \sim \frac{1}{x^{\alpha} } \to\mbox{converge se} \alpha >1 \\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha=1/2\quad \sim \frac{ 1}{2x^{\frac{1}{2}} }\to\mbox{non converge}\\\\
&\mbox{se}\,\,\,\alpha<1/2\quad \sim\frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}} \to\mbox{non converge }
\end{cases}
\end{align}
in definitiva l'integrale converge nell'intervallo $(0,+\infty)$ se $\alpha >1$
Grazie mille,ora mi è molto più chiaro il procedimento!! 
Nella prima funzione in effetti ho sbagliato a scrivere l'argomento del logaritmo: al posto di $ 2-x $ l'argomento corretto è $ 2+x $ . Non dovrebbe cambiare di molto,giusto?
Grazie ancora!
Nella prima funzione in effetti ho sbagliato a scrivere l'argomento del logaritmo: al posto di $ 2-x $ l'argomento corretto è $ 2+x $ . Non dovrebbe cambiare di molto,giusto?
Grazie ancora!
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