Convergenza integrale

[melli13]

Devo studiare la convergenza dell'integrale:
$\int_0^oo sin(x)/(x(logx)^2) dx$

Allora ho pensato di vedere se converge la serie $\sum_{n=0}^oo sin(n)/(n(log(n))^2)$
$sin(n)/(n(log(n))^2)$$\sim$$n/(n(log(n))^2)=1/(n^0(log(n))^2)$

Ma $\sum_{n=0}^oo1/(n^0(log(n))^2)$ è la serie di Abel che non converge perchè $0<1$.
Quindi anche l'integrale diverge....Potrebbe andare? Grazie mille....

[Seneca1]

No. Non puoi approssimare $sin(n)$ con $n$ in un intorno di $+oo$.

EDIT: Ti do un'imbeccata:

$sum (|sin(n)|)/(n (log^2(n)))$ ha come serie maggiorante $sum 1/(n (log^2(n))) $ la quale converge se e solo se converge la serie condensata $sum 2^n/(2^n ( n^2 log^2(2)))$ ...

[melli13]

Allora $\sum_{n=0}^oo 2^n/(2^n(log(2^n))^2)$=$\sum_{n=0}^oo 1/(log(2^n))^2$=$\sum_{n=0}^oo 1/(n^2(log(2))^2)= 1/(log(2))^2 \sum_{n=0}^oo 1/(n^2)$
Ora se la serie partisse da 1 avrei potuto dire che convergesse.....in questo caso invece che si fa ?
Scrivere $1/(log(2))^2 (\sum_{n=1}^oo 1/(n^2)+1/0)$ è sbagliato e quindi come faccio a dire che diverge?

[robe921]

se noti l'integrale è improprio anche in $x=0$ (c'è $logx$ che necessita di valori strettamente positivi delle x, nonché $x$ al denominatore), perciò devi trovare un altro tipo di approccio

[Seneca1]

@robe92: In realtà no. Infatti la funzione integranda $f$ estende ad una funzione continua su $[0, + \infty )$ essendo $lim_(x -> 0^+) f(x) = 0^+$ (osservazione che comunque va fatta).

Inoltre, ai fini della covergenza, non è importante che la serie parta da $n = 0$ (non ha molto senso). Puoi partire da $n = 100$, ad esempio.

[melli13]

@Seneca: Non capisco....se faccio partire la serie da $n=100$ o qualsiasi altro valore, essa convergerebbe...invece deve divergere....