Convergenza integrale

[ale_merlino]

Studiare la convergenza dll'ingrale improprio tra 0 e +inf:
f(x)=(sinh(2xcosx)-2x)/x^3

[fu^2]

$int_0^(oo)(sinh(2xcosx)-2x)/x^3=int_0^(oo)((e^x-e^(-x))/2(2xcosx)-2x)/x^3=
$int_0^(oo)((e^(2x)-1)(2xcosx)-4xe^x)/(2x^3e^x)

studiamo in un intorno di zero:
sia $f(x)=((e^(2x)-1)(2xcosx)-4xe^x)/(2x^3e^x)~-((2x+1-1)(2x)-4x)/(2x^3)~-(4x^2)/(2x^3)~-2/x$ per $x->0$ e quindi in zero non è integrabile in zero.

ora vediamo quando $x->+oo$
$int_0^(oo)((e^(2x)-1)(2xcosx)-4xe^x)/(2x^3e^x)~int_0^(oo)((e^(2x)-1)(2x))/(2x^3e^x)~int_0^(oo)((e^(2x)))/(2x^2)
anche questo nn è integrabile...

spero di aver detto bene senza sciocchezze

[gugo82]

"fu^2":$int_0^(oo)(sinh(2xcosx)-2x)/x^3=int_0^(oo)((e^x-e^(-x))/2(2xcosx)-2x)/x^3=
$int_0^(oo)((e^(2x)-1)(2xcosx)-4xe^x)/(2x^3e^x)

studiamo in un intorno di zero:
sia $f(x)=((e^(2x)-1)(2xcosx)-4xe^x)/(2x^3e^x)~-((2x+1-1)(2x)-4x)/(2x^3)~-(4x^2)/(2x^3)~-2/x$ per $x->0$ e quindi in zero non è integrabile in zero.

ora vediamo quando $x->+oo$
$int_0^(oo)((e^(2x)-1)(2xcosx)-4xe^x)/(2x^3e^x)~int_0^(oo)((e^(2x)-1)(2x))/(2x^3e^x)~int_0^(oo)((e^(2x)))/(2x^2)
anche questo nn è integrabile...

spero di aver detto bene senza sciocchezze

Scusa fu^2 ma credo che $2xcosx$ fosse l'argomento del seno iperbolico, quindi $sinh(2xcosx)=1/2(e^(2xcosx)-e^(-2xcosx))$.

Mi sa che devi rivedere i calcoli.

[fu^2]

uff è vero.. son fuso...il pomeriggio dopo gli esami devo star a cazzeggio nn a pensare
ora nn ho troppa voglia di rifare i conti, comunque la traccia è stata fatta... al massimo dopo

grazie della correzione

[fu^2]

"ale_merlino":Studiare la convergenza dll'ingrale improprio tra 0 e +inf:
$f(x)=(sinh(2xcosx)-2x)/x^3

in zero
nota: sviluppiamo in un intorno di zero il seno iperbolico utilizzando la serie di Taylor, i conti saranno più facili definisco quindi $g(x)=sinh(2xcosx)$ e $h(x)=2xcosx$
quindi
$g(h(0))=0
$g'(h(x))=cosh(h(x)*h'(x)
$g''(h(x))=sinh(h(x)*h'(x)+cosh(h(x)*h''(x)
$g'''(h(x))=cosh(h(x))*h'(x)+sinh(h(x)*h''(x)+sinh(h(x))*h''(x)+cosh(h(x))*h'''(x)
notare che in zero $sinh(h(x))=0$ e $cosh(h(x))=1$
quindi possiamo semplificare un pò il calcolo delle derivate sostituendo questi due valori trovati.
so, in un intorno di zero
$g(h(0))=0
$g'(h(x))~h'(x)=2cosx-2xsinx=>g'(h(0))=2
$g''(h(x))~h''(x)=-4sinx-2xcosx=>g'(h(0))=0
$g'''(h(x))~h'(x)+h'''(x)=2cosx-2xsinx-4cosx-2cosx+2xsinx=-4cosx=>g'''(h(0))=-4

quindi in un intorno di zero abbiamo che $g(x)~2x-4x^3+o(x)

quindi tornando all'integrale abbiamo che $f(x)~ -4x^3/x^3=-4$ quindi in un intorno di zero l'integrale esiste. (a calcoli giusti, che con tutte ste lettere in codice una vista è sempre in agguato)

ora per l'integrale quando siamo all'infinito la situazione è più delicata, non possiamo sviluppare come maniaci derivatori ( ) e questo è un bene
quindi valutiamo verso l'infinito e oltre, consideriamo f(x)
$f(x)=(sinh(2xcosx)-2x)/x^3~sinh(2xcosx)/x^3=$ come prima pongo $2xcosx=h(x)$ e ricordando che $sinhx:=1/2(e^x-e^(-x))=(e^(2x)-1)/(2e^x)$ da cui risulta $=(e^(2(h(x)))-1)/(2x^3e^(h(x)))~e^(2(h(x)))/(2x^3e^(h(x)))~e^(h(x))/(x^3)=
$e^(2xcosx)/x^3
nota che questo è continuamente oscillante, tra meno e più infinito, quindi non è integrabile.
infatti possiamo studiare la serie "associata"
$sum_(n=0)^ooe^(2ncosn)/n^3~sum_(n=0)^ooe^(2ncos(pin))/n^3$ il comportamento di questa serie sarà equivalente a quello dell'integrale per ovvie ragioni.
possiamo studiare il comportamento della serie dei dispari e dei pari, sulle serie troncate (se facessimo questo giochino su tutta la serie faremmo un gran casino, vedi il th di Riemann)
otteniamo che $S_(2n)=sum_(n=0)^ke^(2n)/n^3$ e $S_(2n+1)=sum_(n=0)^ke^(-2n)/n^3
quindi $sum_(n=0)^ke^(2ncos(pin))/n^3=S_(2n)+S_(2n+1)$ quindi hai che la tua serie è composta da una sottoserie non descrescente e una sottoserie decrescente, quindi diverge. In infinito anche l'integrale non esiste.

Spero di non aver detto castronerie... non fidarti troppo, però come traccia in linea di massima ci sta

[ale_merlino]

Davvero grazie mille fu^2... oltre ad essere in gamba sei anche simpatico :>
peccato che non sia ancora in gradon di capire tutta sta teoria sulle serie.....
mi accontento di sapere che l'esercizio non ha soluzione....

GRAZIE

[ale_merlino]

...... scusate ancora.... ma quindi non c'è un modo per dire che diverge sfruttando il criterio di assoluta convergenza o del confronto asintotico e stop? cioeè senza ricorrere a serie ccc (devo fare anaisi I lunedì)....

[ale_merlino]

please......

[fu^2]

il problema di quell'integrale quando lo valuti all'infinito è che avendo il coseno all'esponente, continua a oscillare. quandi non puoi usare un criterio del confronto in quanto continua a cambiare segno ogni volta, usando le serie e riducendo tutto a un numero che ha solo più o meno uno (ecco il perchè del pigreco) riesci a gestirla meglio...
è la via più semplice per me, appena ho tempo guardo se c'è una via più diretta

[gugo82]

Forse potrebbe essere utile ricordare che: $AA x in RR$,

$-2xle 2x cosxle 2x quad => quad -sinh(2x)le sinh(2xcos x)le sinh(2x)$?