Convergenza integrale
Per quali valori di $tinRR$ esiste finito $int_0^(+infty)e^(-x)x^tdx$ ?
Risposte
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=16408
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
non riesco a seguirti purtroppo.
altri aiuti????
Deve essere $t > -1$
Vediamo perché...
Essendo la funzione integranda continua in $(0,+oo)$, c'è da valutare la sommabilità attorno a $0$ e attorno a $+oo$. La seconda è sempre garantita dalla presenza dell'esponenziale. Per la sommabilità attorno a $0$ l'esponenziale può essere ignorato, mentre decisivo è l'esponente di $x$... ma in base ai criteri di sommabilità è facile capire che tale esponente, $t$ appunto, deve essere maggiore di $-1$.
Vediamo perché...
Essendo la funzione integranda continua in $(0,+oo)$, c'è da valutare la sommabilità attorno a $0$ e attorno a $+oo$. La seconda è sempre garantita dalla presenza dell'esponenziale. Per la sommabilità attorno a $0$ l'esponenziale può essere ignorato, mentre decisivo è l'esponente di $x$... ma in base ai criteri di sommabilità è facile capire che tale esponente, $t$ appunto, deve essere maggiore di $-1$.
"Kroldar":
Deve essere $t > -1$
ok,lo sapevo,ma perchè?
Ho editato appunto per spiegare.
"Kroldar":
Deve essere $t > -1$
Vediamo perché...
Essendo la funzione integranda continua in $(0,+oo)$, c'è da valutare la sommabilità attorno a $0$ e attorno a $+oo$. La seconda è sempre garantita dalla presenza dell'esponenziale. Per la sommabilità attorno a $0$ l'esponenziale può essere ignorato, mentre decisivo è l'esponente di $x$... ma in base ai criteri di sommabilità è facile capire che tale esponente, $t$ appunto, deve essere maggiore di $-1$.
in $+infty$ si ha $0*infty$ in $0$ quale criterio devo utilizzare?purtroppo ho molte lacune sugli integrali generalizzati
Perchè paer la sommabilita attorno allo zero l'exp può essere ignorato,mentre nel primo caso risulta decisivo?
"Ainéias":
Perchè paer la sommabilita attorno allo zero l'exp può essere ignorato,mentre nel primo caso risulta decisivo?
Perché l'esponenziale in $0$ è definito, mentre $x^t$ per $t<0$ no.
"Kroldar":
[quote="Ainéias"]Perchè paer la sommabilita attorno allo zero l'exp può essere ignorato,mentre nel primo caso risulta decisivo?
Perché l'esponenziale in $0$ è definito, mentre $x^t$ per $t<0$ no.[/quote]
ok.
A quale dei seguenti criteri di convergenza ti riferisci? https://www.matematicamente.it/analisi/i ... e_illi.htm
Mi sembra che non c'è quello a cui mi riferisco io, cmq te lo formalizzo qua:
Lemma: Sia $f>=0$ continua in $]a,b]$. Se esistono $K>0$ e $alpha<1$ tali che risulti $f(x)<=K/(x-a)^alpha$ in un intorno destro di $a$, la funzione è sommabile.
Per $b>0$ arbitrario e per $a=0$ si ha che $x^t=1/x^(-t)$ e siccome deve essere $-t<1$ si ha dunque $t > -1$.
Lemma: Sia $f>=0$ continua in $]a,b]$. Se esistono $K>0$ e $alpha<1$ tali che risulti $f(x)<=K/(x-a)^alpha$ in un intorno destro di $a$, la funzione è sommabile.
Per $b>0$ arbitrario e per $a=0$ si ha che $x^t=1/x^(-t)$ e siccome deve essere $-t<1$ si ha dunque $t > -1$.
"Kroldar":
Mi sembra che non c'è quello a cui mi riferisco io, cmq te lo formalizzo qua:
Lemma: Sia $f>=0$ continua in $]a,b]$. Se esistono $K>0$ e $alpha<1$ tali che risulti $f(x)<=K/(x-a)^alpha$ in un intorno destro di $a$, la funzione è sommabile.
Per $b>0$ arbitrario e per $a=0$ si ha che $x^t=1/x^(-t)$ e siccome deve essere $-t<1$ si ha dunque $t > -1$.
grazie 1000
Pas de quoi 
"Kroldar":
[quote="Ainéias"]Perchè paer la sommabilita attorno allo zero l'exp può essere ignorato,mentre nel primo caso risulta decisivo?
Perché l'esponenziale in $0$ è definito, mentre $x^t$ per $t<0$ no.[/quote]
mentre $x^t$ per $t<0$ no...perchè?
"Ainéias":
mentre $x^t$ per $t<0$ no...perchè?
Per $t<0$ si ha $x$ al denominatore...
Ricapitolando....
La sommabilità attorno ad $infty$ è garantita dalla presenza dell'exp...in che senso?perchè tende ad infinito + velocemente?
In zero l'exp può essere ignorato in quanto è ivi definito e ,applicando il lemma suggeritomi e scegliendo come funzione campione la $1/x^(-t)$ segue che l'integrale esiste finito se $t > -1$.
Giusta interpretazione?
ps:Prima ero distratto enormemente dalla partita
La sommabilità attorno ad $infty$ è garantita dalla presenza dell'exp...in che senso?perchè tende ad infinito + velocemente?
In zero l'exp può essere ignorato in quanto è ivi definito e ,applicando il lemma suggeritomi e scegliendo come funzione campione la $1/x^(-t)$ segue che l'integrale esiste finito se $t > -1$.
Giusta interpretazione?
ps:Prima ero distratto enormemente dalla partita
"Kroldar":
[quote="Ainéias"]
mentre $x^t$ per $t<0$ no...perchè?
Per $t<0$ si ha $x$ al denominatore...[/quote]
e quindi?
scusa l'ignoranza..
$t>-1$ che significa?
(lo so che volevi scrivere $t > -1$ però non capisco che sta ad indicare $>-$)
$t>-1$ che significa?
(lo so che volevi scrivere $t > -1$ però non capisco che sta ad indicare $>-$)
Lo si usa anche per $o(\cdot)$.
"Mega-X":
scusa l'ignoranza..
$t>-1$ che significa?
(lo so che volevi scrivere $t > -1$ però non capisco che sta ad indicare $>-$)
Intendevo semplicemente maggiore.Con explorer addirittura neanche vedevo la formula scritta;ora ho messo uno spazio e la vedo.
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