Convergenza integrale
buongiorno! devo studiare la convergenza del seguente integrale: $ int_(-oo)^(+oo) arctan(1/x)/(√(|x^2-1|)) dx $ .
sto procedendo in questo modo: serve calcolarne la convergenza in un intorno di $ +-oo $
in un intorno di $ +oo $ la funzione integranda va come $ (1/x)/(√(x^2-1))=1/(x√x^2)=1/x^2=0 $ quindi converge.
in un intorno di $ -oo $ la funzione integranda va come $ (1/x)/(√(x^2-1))=1/(x√x^2)=-1/x^2=0 $ (temo non sia proprio così
)
potete indicarmi miei eventuali errori e dirmi se l'esercizio è finito?
sto procedendo in questo modo: serve calcolarne la convergenza in un intorno di $ +-oo $
in un intorno di $ +oo $ la funzione integranda va come $ (1/x)/(√(x^2-1))=1/(x√x^2)=1/x^2=0 $ quindi converge.
in un intorno di $ -oo $ la funzione integranda va come $ (1/x)/(√(x^2-1))=1/(x√x^2)=-1/x^2=0 $ (temo non sia proprio così
)potete indicarmi miei eventuali errori e dirmi se l'esercizio è finito?
Risposte
Ciao! La funzione integranda è dispari, perciò il comportamento dell'integrale per $x \to \infty$ coincide con quello per $x \to -\infty$.
Comunque sei un po' impreciso: fino a che hai detto "la funzione va" potevo pure passartelo (visto che "va" posso vederlo come sinonimo di "si comporta come"), ma poi scriverei assolutamente $\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{x^2-1}} \approx \frac{1}{x\sqrt{x^2}}$ per $x \to \infty$, usare $=$ al posto di $\approx$ è proprio sbagliato.
Comunque l'idea dello svolgimento è corretta, personalmente spenderei un paio di parole in più per dimostrare che vale la stima asintotica ad un esame.
E $x_0=0$? Come mai non l'hai studiato? Hai un denominatore tendente a $0$ in $\arctan \frac{1}{x}$. Tecnicamente c'è un motivo sensato per non studiarlo, ma non so se l'hai discusso per bene.
Comunque sei un po' impreciso: fino a che hai detto "la funzione va" potevo pure passartelo (visto che "va" posso vederlo come sinonimo di "si comporta come"), ma poi scriverei assolutamente $\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{x^2-1}} \approx \frac{1}{x\sqrt{x^2}}$ per $x \to \infty$, usare $=$ al posto di $\approx$ è proprio sbagliato.
Comunque l'idea dello svolgimento è corretta, personalmente spenderei un paio di parole in più per dimostrare che vale la stima asintotica ad un esame.
E $x_0=0$? Come mai non l'hai studiato? Hai un denominatore tendente a $0$ in $\arctan \frac{1}{x}$. Tecnicamente c'è un motivo sensato per non studiarlo, ma non so se l'hai discusso per bene.
fai bene a rimproverarmi 
comunque non ho problemi a spiegare la stima asintotica in questo esercizio. invece va bene dire che non occorre studiare $ x_0=0 $ perchè la funzione $ arctan(1/x) $ in 0 non è definita?
comunque non ho problemi a spiegare la stima asintotica in questo esercizio. invece va bene dire che non occorre studiare $ x_0=0 $ perchè la funzione $ arctan(1/x) $ in 0 non è definita?
Assolutamente non va bene. Anche $\frac{1}{x^{\alpha}}$ con $\alpha >0$ non è definita in $x_0=0$, eppure si studiano eccome gli integrali impropri di quella forma.
C'è un vincolo ben preciso quando si introduce la teoria degli integrali impropri: cosa deve succedere affinché un integrale sia improprio in un punto al finito $x_1$?
Cerco di aiutare la comprensione della domanda di cui sopra con un esempio: perché $int_0^1 \frac{1}{x} \text{d}x$ è improprio in $0$?
C'è un vincolo ben preciso quando si introduce la teoria degli integrali impropri: cosa deve succedere affinché un integrale sia improprio in un punto al finito $x_1$?
Cerco di aiutare la comprensione della domanda di cui sopra con un esempio: perché $int_0^1 \frac{1}{x} \text{d}x$ è improprio in $0$?
iniziano a sorgermi altri dubbi: non avrei potuto concludere che l'integrale converge perchè abbiamo una funzione integranda dispari su un intervallo di integrazione simmetrico rispetto all'origine, che quindi dà 0 come risultato?
altro dubbio.. hai giustamente scritto che essendo la funzione integranda dispari, il comportamento dell'integrale per $ x->+oo $ è uguale a quello per $ x->-oo $ . questo perchè essendo simmetrica rispetto all'origine abbiamo stessa area a destra e a sinistra del grafico? e confermi che avremmo potuto studiare la convergenza solo per $ x->+oo $ se la funzione fosse stata pari essendo in tal caso vero che $ int_(-oo)^(+oo) f(x) dx=2int_(0)^(+oo) f(x) dx $ ?
altro dubbio.. hai giustamente scritto che essendo la funzione integranda dispari, il comportamento dell'integrale per $ x->+oo $ è uguale a quello per $ x->-oo $ . questo perchè essendo simmetrica rispetto all'origine abbiamo stessa area a destra e a sinistra del grafico? e confermi che avremmo potuto studiare la convergenza solo per $ x->+oo $ se la funzione fosse stata pari essendo in tal caso vero che $ int_(-oo)^(+oo) f(x) dx=2int_(0)^(+oo) f(x) dx $ ?
Attenzione a questi argomenti, perché seppur è vero che l'integranda è dispari e l'intervallo di integrazione è simmetrico l'argomento può saltare in casi come questo
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \text{d}x$$
Anche questo ha funzione integranda dispari e l'intervallo è simmetrico, eppure è indeterminato in $0$.
Qui la questione diventa sottile e tratta di argomenti come il valor principale di un integrale, quindi ti consiglierei di evitare l'uso delle simmetrie se non sei pienamente conscio di come funzionano. Comunque è un'ottima osservazione!
Però non hai risposto alla domanda, che ora è molto più importante capire quello che la parte sul valor principale e altre cose disturbanti.
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \text{d}x$$
Anche questo ha funzione integranda dispari e l'intervallo è simmetrico, eppure è indeterminato in $0$.
Qui la questione diventa sottile e tratta di argomenti come il valor principale di un integrale, quindi ti consiglierei di evitare l'uso delle simmetrie se non sei pienamente conscio di come funzionano. Comunque è un'ottima osservazione!
Però non hai risposto alla domanda, che ora è molto più importante capire quello che la parte sul valor principale e altre cose disturbanti.
rispondo alla domanda: $ int_(0)^(1) 1/x dx $ è improprio in 0 perchè esiste il limite della funzione $ 1/x $ continua in (0,1] $ lim_(c-> 0^+)int_(c)^(1) 1/x dx $ che fa $ +oo $ .
quindi la differenza col mio esercizio è che non esiste il $ lim_(c-> 0^+)int_(c)^(1) arctan(1/x) dx $ . se è giusto quello che ho detto, ammetto di non aver ben capito perchè il secondo non esista.
comunque non so cosa sia la parte principale di un integrale, quindi meglio lasciar stare a priori di svolgere un esercizio del genere notando delle simmetrie oppure è un concetto che posso capire facilmente (dopo aver chiarito le lacune di cui stiamo parlando )
quindi la differenza col mio esercizio è che non esiste il $ lim_(c-> 0^+)int_(c)^(1) arctan(1/x) dx $ . se è giusto quello che ho detto, ammetto di non aver ben capito perchè il secondo non esista.
comunque non so cosa sia la parte principale di un integrale, quindi meglio lasciar stare a priori di svolgere un esercizio del genere notando delle simmetrie oppure è un concetto che posso capire facilmente (dopo aver chiarito le lacune di cui stiamo parlando
)
No, $\lim_{c \to 0^+} \int_c^1 \arctan \frac{1}{x} \text{d}x$ esiste.
Il punto principale è che un integrale è improprio in un punto $x_0$ al finito se la funzione integranda è illimitata in un intorno di tale punto: la funzione $\frac{\arctan \frac{1}{x}}{\sqrt{|x^2-1|}}$ è illimitata in un intorno di $0$?
Per questo stesso motivo, $\int_0^1 \frac{1}{x} \text{d}x$ è improprio in $x_0=0$ perché $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}=\infty$.
Il punto principale è che un integrale è improprio in un punto $x_0$ al finito se la funzione integranda è illimitata in un intorno di tale punto: la funzione $\frac{\arctan \frac{1}{x}}{\sqrt{|x^2-1|}}$ è illimitata in un intorno di $0$?
Per questo stesso motivo, $\int_0^1 \frac{1}{x} \text{d}x$ è improprio in $x_0=0$ perché $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}=\infty$.
esistono finiti i limiti destro e sinistro di $ arctan(1/x) $:
$ lim_(x -> 0+) arctan(1/x)=pi/2 $ e $ lim_(x -> 0-) arctan(1/x)=-pi/2 $ quindi concludo che $ arctan(1/x)/(√|x^2-1|) $ è limitata in un intorno di 0
$ lim_(x -> 0+) arctan(1/x)=pi/2 $ e $ lim_(x -> 0-) arctan(1/x)=-pi/2 $ quindi concludo che $ arctan(1/x)/(√|x^2-1|) $ è limitata in un intorno di 0
Esatto, essendo limitata ed essendo un intorno di $0$ un intervallo limitato allora l'integrale non è improprio in $0$.
grazie per la disponibilità 
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