Convergenza integrale

[itisscience]

devo discutere la convergenza dell'integrale $ int_(0)^(+oo) (e^x-1)/(arctan(√x^alpha)alpha^x dx $ al variare di $ alpha>0 $ .
allora ho calcolato $ lim_(x -> +oo) ((e^x-1)/(arctan(√x^alpha)alpha^x))/((e^x)/alpha^x)=2/pi $ ossia l'integrale di partenza è integrabile in senso generalizzato su $ [1,+oo) $ se lo è $ int_(0)^(+oo) e^x/alpha^x dx $ quindi calcolo $ lim_(a -> +oo) int_(1)^(a) (e/alpha)^x dx $ . la soluzione è che converge se e solo se $ alpha>e $ però non capisco quali sono i calcoli giusti da fare.. $ lim_(a -> +oo) ((e/alpha)^(x+1)/(x+1))|_(x=1)^(x=a) $ ?

[Mephlip]

L'integrale $\int_1^a \left(\frac{e}{\alpha}\right)^x\text{d}x$ è sbagliato: $\left(\frac{e}{\alpha}\right)^x$ non è una potenza fissa, è un esponenziale.

L'estremo inferiore di integrazione diventa $1$ da $0$ perché hai studiato a parte il caso per $x \in (0,1)$ oppure l'intervallo di integrazione è $[1,\infty)$ ed è un errore di battitura? Perché se l'intervallo è $(0,\infty)$ c'è anche da studiare cosa succede per $x \to 0^+$.

[itisscience]

ho studiato a parte, e non ho avuto problemi, la convergenza su $ (0,1) $ !

[Mephlip]

Bene! Ti torna ora come va integrato? Altrimenti lo vediamo insieme.

[itisscience]

ho capito perchè il mio modo di integrare sia sbagliato, ma non ho capito come procedere

[Mephlip]

Ok! Essendo per ipotesi $\alpha>0$ ha senso considerare $\log \alpha$, prova quindi a scrivere $\left(\frac{e}{\alpha}\right)^x=e^{\log \left(\frac{e}{\alpha}\right)^x}=e^{x \log \left(\frac{e}{\alpha}\right)}=e^{x(1-\log \alpha)}$. Ora dovrebbe essere più familiare come integrale.

[itisscience]

tutto chiaro ora, grazie mille