Convergenza integrale
Quale utilita ha lo studio della convergenza o la divergenza di un integrale?
Risposte
Qual è l’area della regione di piano compresa tra l’asse delle ascisse, la retta di equazione $x=1$ ed il grafico della funzione $f(x) = 1/x^2$?
P.S.:Sarebbe interessante capire come mai, a distanza di sei anni da post su come stabilire la convergenza di integrali impropri, poni una domanda simile.
P.S.:Sarebbe interessante capire come mai, a distanza di sei anni da post su come stabilire la convergenza di integrali impropri, poni una domanda simile.
=1
PS: Sarebbe interessante comprendere perchè è complesso ottenere risposte semplici
PS: Sarebbe interessante comprendere perchè è complesso ottenere risposte semplici
"themagnope":
=1
E come hai fatto?
Puoi calcolare altrettanto facilmente quanto vale l’area della regione di piano delimitata dall’asse delle ascisse, dalla retta di equazione $x=1$ e dal grafico della funzione $f(x) := x/(e^x + 1)$?
P.S.: Non scherzavo.
Sei stato molto chiaro mi avevi gia rinfrescato la memoria dopo che ho risolto la tua prima domanda grazie
Ciao themagnope,
E' utile sapere prima se un integrale converge o diverge perché se diverge non si perde tempo a cercare di calcolarlo; se invece converge anche se magari non è facile da calcolare analiticamente si può procedere con metodi numerici o comunque si possono ricavare delle stime.
Non l'ho capita...
Se $b > 0 $ allora notoriamente
$ \int_0^b 1/x^p \text{d}x $
converge se $p < 1 $, diverge se $p >= 1 $. Nel caso in esame si ha $b = 1 > 0$ e $p = 2 > 1 $, per cui l'integrale improprio diverge.
L'altra funzione che ti ha proposto gugo82 l'hai snobbata, ma invece è anche più interessante proprio perché fornisce un esempio di ciò che ti ho scritto in precedenza:
$ \int_0^1 x/(e^x + 1) \text{d}x $
Converge o diverge? Così su due piedi non saprei; trovare la primitiva è possibile, ma di certo non è facile e sono senz'altro coinvolte funzioni non elementari... Che si fa? Eh, vediamo prima se converge, se no si perde tempo inutilmente. Si ha:
$ \int_0^1 x/(e^x + 1) \text{d}x <= \int_0^1 x/e^x \text{d}x = \int_0^1 x e^-x \text{d}x = \frac{e - 2}{e} $
Ora sappiamo che converge, per cui possiamo ad esempio usare metodi numerici con la certezza che se operiamo bene un risultato finito lo troviamo. Altro esempio simile:
$ \int_0^1 x/(e^x - 1) \text{d}x $
Converge o diverge? Così su due piedi non saprei; trovare la primitiva è possibile, ma di certo non è facile e sono senz'altro coinvolte funzioni non elementari... Che si fa? Eh, vediamo prima se converge, se no si perde tempo inutilmente. Si ha:
$e^x = sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) >= 1 + x \implies e^x - 1 >= x \implies x/(e^x - 1) <= 1 $
Dunque si ha:
$ \int_0^1 x/(e^x - 1) \text{d}x <= \int_0^1 1 \text{d}x = 1 $
Ora sappiamo che converge, per cui possiamo ad esempio usare metodi numerici con la certezza che se operiamo bene un risultato finito lo troviamo.
"themagnope":
Quale utilità ha lo studio della convergenza o la divergenza di un integrale?
E' utile sapere prima se un integrale converge o diverge perché se diverge non si perde tempo a cercare di calcolarlo; se invece converge anche se magari non è facile da calcolare analiticamente si può procedere con metodi numerici o comunque si possono ricavare delle stime.
"themagnope":
=1
Non l'ho capita...
Se $b > 0 $ allora notoriamente
$ \int_0^b 1/x^p \text{d}x $
converge se $p < 1 $, diverge se $p >= 1 $. Nel caso in esame si ha $b = 1 > 0$ e $p = 2 > 1 $, per cui l'integrale improprio diverge.
L'altra funzione che ti ha proposto gugo82 l'hai snobbata, ma invece è anche più interessante proprio perché fornisce un esempio di ciò che ti ho scritto in precedenza:
$ \int_0^1 x/(e^x + 1) \text{d}x $
Converge o diverge? Così su due piedi non saprei; trovare la primitiva è possibile, ma di certo non è facile e sono senz'altro coinvolte funzioni non elementari... Che si fa? Eh, vediamo prima se converge, se no si perde tempo inutilmente. Si ha:
$ \int_0^1 x/(e^x + 1) \text{d}x <= \int_0^1 x/e^x \text{d}x = \int_0^1 x e^-x \text{d}x = \frac{e - 2}{e} $
Ora sappiamo che converge, per cui possiamo ad esempio usare metodi numerici con la certezza che se operiamo bene un risultato finito lo troviamo. Altro esempio simile:
$ \int_0^1 x/(e^x - 1) \text{d}x $
Converge o diverge? Così su due piedi non saprei; trovare la primitiva è possibile, ma di certo non è facile e sono senz'altro coinvolte funzioni non elementari... Che si fa? Eh, vediamo prima se converge, se no si perde tempo inutilmente. Si ha:
$e^x = sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) >= 1 + x \implies e^x - 1 >= x \implies x/(e^x - 1) <= 1 $
Dunque si ha:
$ \int_0^1 x/(e^x - 1) \text{d}x <= \int_0^1 1 \text{d}x = 1 $
Ora sappiamo che converge, per cui possiamo ad esempio usare metodi numerici con la certezza che se operiamo bene un risultato finito lo troviamo.
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