Convergenza integrale
Qualcuno sa dirmi perché $ int_(0)^(1 ) (x^3)/(sqrt(1-×^2)) dx $ converge? E in cosa?
Risposte
Be', l'unico punto che può creare dei problemi per quell'integrale è $1$ poiché il denominatore si annulla.
Per $x \to 1^-$
$$ \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \sim \frac{1}{\sqrt{2}(1-x)^{1/2}} $$
e dunque l'integrale converge per noti criteri, cioè se (in soldoni) l'esponente della parte infinitesima a denominatore è minore di 1.
Che vuol dire?
Per $x \to 1^-$
$$ \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \sim \frac{1}{\sqrt{2}(1-x)^{1/2}} $$
e dunque l'integrale converge per noti criteri, cioè se (in soldoni) l'esponente della parte infinitesima a denominatore è minore di 1.
"Amari999":
E in cosa?
Che vuol dire?
Ciao Amari999,
Come ti ha suggerito correttamente @Bremen000, l'integrale proposto
$ int_(0)^(1 ) (x^3)/(sqrt(1-x^2)) dx $
converge. Dato che normalmente gli esercizi sono concepiti per essere risolti (almeno quelli proposti da docenti con un certo grado di stabilità psichica...
), se nell'esercizio ti si chiede a cosa converge l'integrale, significa che quell'integrale dovresti essere in grado di calcolarlo con metodi abbastanza elementari (in questo caso col metodo di sostituzione). Sappi che converge a $ \frac{2}{3} $, ma dovresti provare a risolvere l'integrale indefinito associato autonomamente...
Come ti ha suggerito correttamente @Bremen000, l'integrale proposto
$ int_(0)^(1 ) (x^3)/(sqrt(1-x^2)) dx $
converge. Dato che normalmente gli esercizi sono concepiti per essere risolti (almeno quelli proposti da docenti con un certo grado di stabilità psichica...
), se nell'esercizio ti si chiede a cosa converge l'integrale, significa che quell'integrale dovresti essere in grado di calcolarlo con metodi abbastanza elementari (in questo caso col metodo di sostituzione). Sappi che converge a $ \frac{2}{3} $, ma dovresti provare a risolvere l'integrale indefinito associato autonomamente...
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