Convergenza Integrale

[DCLeonardo22]

Ciao ,dovrei Stabilire per quali valori di α > 0 l’integrale I = \(\displaystyle \int _0^{\pi }\:\frac{cosx}{\sqrt{1-sen^ax}}dx\: \) converge ? Grazie mettetemi anche i passaggi per capire perchè non so proprio come fare

[Cesare34556]

Allora innanzi tutto occorre notare che la funzione integranda è definita sia in $0$ sia in $\pi$ dove vale rispettivamente $1$ e $-1$, apprentemente quindi non dovrebbero esserci problemi. Il primo passo è allora verificare i possibili punti problematici che la funzione presenta nell'intervallo e studiare il comportamento di essa per $x$ tendente a quei punti. Ci interessiamo allora al caso in cui la radice possa essere nulla: questo capita, per ogni $a>0$, in $x=\pi/2$.
Calcoliamo dunque

$lim_(x -> \pi/2) \frac{cos(x)}{sqrt(1-sin^a(x))}$

è utile espandere numeratore e denominatore in serie di Taylor arrestando l'espansione opportunamente:

$lim_(x -> \pi/2) \frac{-(x-\pi/2)}{sqrt(a/2)abs(x-\pi/2)}$

da cui ne segue che per $xrarr\(pi/2) ^-$ la funzione tende a $sqrt(2/a)$, al contrario tende a $-sqrt(2/a)$ nell'altro caso.
Quindi la nostra funzione ha un salto per $x=pi/2$ (e in realta per ogni $x=pi/2 + 2k\pi$) ed è perciò convergente l'integrale per ogni scelta di a; si puo inoltre dimostrare che vale sempre zero.
Saluti

[DCLeonardo22]

Grazie 1000 Cesare

[Cesare34556]

piccola correzione:
la condizione che ho dato sui salti è vera nel caso in cui $a$ è dispari, altrimenti ha salti per $x=pi/2 + k\pi$.
Chiedo venia!

[DCLeonardo22]

Cesare mi puoi spiegare i passaggi che hai fatto nel secondo limite che non mi è tanto chiaro, grazie

[Cesare34556]

Non farò una cosa troppo formale.
Partiamo dalla formula di Taylor:

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac\{f^((n))(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$

Applichiamo a $f(x)=cos(x)$ e $f(x)=sin(x)$ con $x_0=pi/2$:

$cos(x)=-(x-pi/2)+o((x-pi/2)^3)$

$sin(x)=1-1/2 (x-pi/2)^2+o((x-pi/2)^4)$

Adesso bisogna fare un passaggio "delicato". Quello che noi vogliamo sapere è come si comporta $sqrt(1-sin^a(x))$ in un intorno di $pi/2$, allora cerchiamo di capire questo:

$(1-1/2 (x-pi/2)^2 +o((x-pi/2)^4))^a =? $ $(1)$

Ricordando l'espansione che ha salvato centinaia di potenziali vittime:

$(1+x)^\alpha = 1+ \alpha x$

Allora la $(1)$ diventa:

$1-a/2(x-pi/2)^2+o((x-pi/2)^4)$

Possiamo allora sostituire nella radice, cambiando il segno e sommando con $1$ per ottenere:

$sqrt(a/2(x-pi/2)^2) = sqrt(a/2)abs(x-pi/2)$

Spero di essere stato sufficientemente chiaro!
Saluti

[DCLeonardo22]

Cesare una cosa , ma perchè hai invertito gli sviluppo di Taylor del seno e coseno ? Io so che lo sviluppo di Taylor centrato in 0 del seno è :\(\displaystyle x-\frac{x}{6}^{^3}+o\left(x^4\right) \) mentre il coseno è \(\displaystyle 1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right) \) ma mi pare di capire che sono stati invertiti ? Dico male o c'è una spiegazione ?

[fra_62]

Occhio Leonardo, Cesare ha centrato gli sviluppi in $ pi/2 $ , in $ 0 $ la funzione è definita.

[DCLeonardo22]

Ah si si è vero scusa !