Convergenza integrale

[LucaSanta93]

Buonasera a tutti;
mi sto preparando per l'orale di analisi, e questo esercizio mi sta facendo impazzire da un pò.
Devo calcolare il dominio di definizione, e stabilire se è $C^{infty}$ la seguente $ f(t)=\int_{0}^{infty} 1/[x^t(1+x)] dx $. Ora il problema è che ho molta confusione in testa, provo a spiegarmi: devo cercare per quali $t$ quella funzione è integrabile in $0$ e $+infty$, l'idea che ho è di trovare una funzione $g(x)$ che la equidomina e quindi verificare la convergenza della funzione di partenza, però, ripeto, ho molta confusione e non riesco a visualizzare chiaramente cosa devo fare, inoltre non trovo informazioni utili sul mio libro di testo, se magari avete qualche dispensa in rete o qualche sito che tratta l'argomento ve ne sarei infinitamente grato!
Grazie mille
Luca

[ostrogoto1]

Considera che
$ int_(0)^(1) x^alpha dx\-1 $
et
$ int_(1)^(+oo) x^alpha dx

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[LucaSanta93]

Però c'è qualcosa che non mi torna, allora seguendo il suggerimento ho proseguito così
$\int_{0}^{infty} 1/[x^t(1+x)] dx = \int_{0}^{1} 1/[x^t(1+x)] dx + \int_{1}^{infty} 1/[x^t(1+x)] dx $
A questo punto il primo integrale $ I_1$ converge se $t<0$, mentre il secondo si comporta come $\int_{1}^{infty} 1/x^(t+1) dx$ che quindi converge se $t+1>1 \Leftrightarrow t>0$ e dunque la $f(t)$ di partenza non converge per nessun $t in RR$. Possibile??

[ostrogoto1]

Di solito non serve scrivere l'integrale spezzato, basta indicare le condizioni sotto le quali converge.
Comunque per quanto riguarda $ x=0 $ la condizione e':
$ t<1 $ essendo $ int_0^1 1/x^alphadx Per $ xrarr+oo $ la condizione e' $ t>0 $, d'accordo come dici tu.
Quindi convergenza dell'integrale per $ tin(0,1) $

[LucaSanta93]

Ok, mi è quasi tutto chiaro, rimane solo una piccola cosa: per $x=0$ il denominatore ha grado $t+1$ ma perché questo non influisce ai fini della convergenza? Scusa se sono così pedante ma voglio capire bene il ragionamento che c'è dietro.
In ogni caso grazie mille per la disponibilità e le spiegazioni !!!

[ostrogoto1]

Per $ x=0 $ la funzione integranda diventa: $ 1/x^t $ essendo $ 1/(1+x)=1 $

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[LucaSanta93]

Giusto! Grazie mille per l'aiuto e per il tempo speso, è stato utilissimo!!
Luca