Convergenza integrale
salve a tutti. devo studiare la convergenza di questo integrale e in caso affermativo calcolarlo:
$ int_(0)^(+ i nf) x^(5/2)e^-x dx $
mi sono accorta che è una gamma di Eulero. u-1= 5/2, u= 7/2>0 quindi converge.
e come posso calcolare la convergenza??? io avevo pensato per parti, è corretto? oppure, come posso applicare le proprietà per calcolarlo???
$ int_(0)^(+ i nf) x^(5/2)e^-x dx $
mi sono accorta che è una gamma di Eulero. u-1= 5/2, u= 7/2>0 quindi converge.
e come posso calcolare la convergenza??? io avevo pensato per parti, è corretto? oppure, come posso applicare le proprietà per calcolarlo???
Risposte
In pratica devi calcolare $Gamma(7/2)$. Conosci le proprietà della funzione $Gamma$?
Te ne bastano due: $Gamma(u)=u*Gamma(u-1)$ e $Gamma(1/2)=sqrtpi$
Te ne bastano due: $Gamma(u)=u*Gamma(u-1)$ e $Gamma(1/2)=sqrtpi$
ho pensato così
posso scrivere u = 3 + 1/2 ...chiamo v=1/2 e n=3
allora gamma(u)= (v+n-1)(v+n-2)...v gamma(v)
dunque $ Gamma (7/2)=(3+1/2-1)(3+1/2-2)=(2+1/2)1/2Gamma(1/2)=5/8sqrt(pi) $
è corretto??
posso scrivere u = 3 + 1/2 ...chiamo v=1/2 e n=3
allora gamma(u)= (v+n-1)(v+n-2)...v gamma(v)
dunque $ Gamma (7/2)=(3+1/2-1)(3+1/2-2)=(2+1/2)1/2Gamma(1/2)=5/8sqrt(pi) $
è corretto??
No, fai così: $Gamma(7/2)= 7/2*Gamma(5/2)=...$
ma perchè io a queste cose non penso??? >.< grazie mille!
Quanto ti viene?
la formula è però sbagliata. quella corretta è: $ Gamma(u+1)=uGamma(u) $
quindi: $ Gamma(7/2)=Gamma(5/2+1)=5/2Gamma(3/2)=5/2*3/2Gamma(1/2)=15/8sqrt(pi) $
giusto?
quindi: $ Gamma(7/2)=Gamma(5/2+1)=5/2Gamma(3/2)=5/2*3/2Gamma(1/2)=15/8sqrt(pi) $
giusto?
"miry77":Sì, hai ragione. Errore mio.
la formula è però sbagliata. quella corretta è: $ Gamma(u+1)=uGamma(u) $
"miry77":Sì, anche a me viene quel risultato, anche se i passaggi sono un po' diversi:
quindi: $ Gamma(7/2)=Gamma(5/2+1)=5/2Gamma(3/2)=5/2*3/2Gamma(1/2)=15/8sqrt(pi) $
giusto?
$Gamma(7/2)= 5/2 Gamma(5/2) = 5/2 * 3/2 Gamma(3/2)= 5/2*3/2 *1/2 Gamma(1/2)= 15/8 sqrtpi$
vabbè, l'importante è che si trovi ^^
sempre restando nell ambito della gamma di Eulero, ho trovato un altro integrale che mi da problemi
$ int_(0)^(+i nf) (x-1)^(1/2)e^(1-x) dx $
ho capito che è una gamma di eulero, ma il problema sta nell'estremo di integrazione 0, visto che il dominio della funzione integranda è x>1 !!! come procedo??? ho pensato di dividerlo in 2, da 0 a 1 e da 1 e +inf (questo è proprio gamma(3/2)) ma cmq il primo integrale non esisterebbe proprio!
sempre restando nell ambito della gamma di Eulero, ho trovato un altro integrale che mi da problemi
$ int_(0)^(+i nf) (x-1)^(1/2)e^(1-x) dx $
ho capito che è una gamma di eulero, ma il problema sta nell'estremo di integrazione 0, visto che il dominio della funzione integranda è x>1 !!! come procedo??? ho pensato di dividerlo in 2, da 0 a 1 e da 1 e +inf (questo è proprio gamma(3/2)) ma cmq il primo integrale non esisterebbe proprio!
Poni $t=x-1$. Come diventa l'integrale facendo la sostituzione?
già fatto!!! ma poi cambiano gli estremi di integrazione, e l'integrale va da 1 a +inf, e poi non è più una gamma! o sbaglio?
l'ho anche risolto con wolframalpha e riporta gamma(3/2, -1) e da come risultato un numero complesso.. 
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