Convergenza integrale
$ int_(0)^(pi/2) (2cosx+(pi-2x)sinx)/(cos^2x) dx $
devo trovare un $ ain(0,1) $ affinchè $ lim_(x -> pi/2-) (pi/2-x)^a(2cosx+(pi-2x)sinx)/(cos^2x) $ esista finito. ma non riesco a determinare a! un aiuto?
devo trovare un $ ain(0,1) $ affinchè $ lim_(x -> pi/2-) (pi/2-x)^a(2cosx+(pi-2x)sinx)/(cos^2x) $ esista finito. ma non riesco a determinare a! un aiuto?
Risposte
ho posto y=pi/2 - x ...e alfa mi è uscito 1. quindi diverge! giusto??
ho controllato, dovrebbe convergere. dove sbaglio???
Se $y=\pi/2-x$ allora abbiamo $x=\pi/2-y$ e
$$\cos x=\sin y,\ \sin x=\cos y$$
per cui il tutto diventa
$$\lim_{y\to 0^+} y^\alpha\cdot\frac{2\sin y+2y\cos y}{\sin^2 y}=\lim_{y\to 0^+} y^\alpha\cdot\frac{2y+2y}{y^2}=\lim_{y\to 0^+} 4y^{\alpha-1}=4$$
se e solo se $\alpha=1$. A me pare proprio che diverga.
$$\cos x=\sin y,\ \sin x=\cos y$$
per cui il tutto diventa
$$\lim_{y\to 0^+} y^\alpha\cdot\frac{2\sin y+2y\cos y}{\sin^2 y}=\lim_{y\to 0^+} y^\alpha\cdot\frac{2y+2y}{y^2}=\lim_{y\to 0^+} 4y^{\alpha-1}=4$$
se e solo se $\alpha=1$. A me pare proprio che diverga.
wolframalpha non è d accordo con noi :\
Ah, vabbé, ma Wolphram è demente! 
Fidati, diverge.
Fidati, diverge.
ahahaah mi fido:D
volendo usare la definizione verrebbe: $ lim_(b -> pi/2) ((2b-pi)/(cosb)+pi)=pi+lim_(b -> pi/2) ((2b-pi)/(cosb))= pi-2 $
quindi converge, allora perchè il criterio non funziona?
quindi converge, allora perchè il criterio non funziona?
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