Convergenza integrale

[adrianoft9189]

Qualcuno potrebbe illuminarmi su come studiare la convergenza del seguente integrale al variare di a in R?

\[\int_0^{π/4} \frac{1-cosx}{x^a*e^x} \]

[Noisemaker]

prima di tutto verifica il campo di esistenza della funzione integranda e vedi se in quell'ntervallo di definizione le cose vanno sempre bene;

[adrianoft9189]

Studio la funzione integranda col lim di x -> 0
(mi scuso se non uso il format delle formule ma non sono pratico e ci metterei tantissimo)

Distinguo i casi per:

a<1
..lim = 0 / inf * 1
....= 0
a>1
..lim = 0 / 0 uso de l'hopital
..f = senx / ax^(a-1)e^(x) + e^(x)x^(a)
....1 ......lim = 0 / inf + 0
........=0 / inf = 0
......a>2
......lim = 0 / 0 + 0 uso de l'hopital
....f = cosx / (a*(a-1))x^(a-2)e^(x) + ....

Non capisco come districarmene

[Obidream]

Perché invece non provi a trovare la parte principale dell'integranda per $x->0$?

$(1-cos(x))/(x^a*e^x)\∼x^2/(2x^a)$ ovvero $1/(2x^(-2+a))$

[adrianoft9189]

"Obidream":Perché invece non provi a trovare la parte principale dell'integranda per $x->0$?

$(1-cos(x))/(x^a*e^x)\∼x^2/(2x^a)$ ovvero /(2x^(-2+a))$

Scusa ma non ti seguo

[Obidream]

Beh praticamente $l\phi(x)^\alpha$ si dice parte principale di $f(x)$ per $x->c$ se accade che $lim_(x->c) f(x)/(l\phi(x)^\alpha)=1$

Quindi l'idea è quella di valutare la parte principale e metterla in una forma del tipo $1/x^\beta$ e poi valutare il comportamento dell'integrale in base a quel $\beta$...

Quindi devi solo trovare la parte principale dell'integranda nei punti in cui l'integrale risulta improprio

[adrianoft9189]

Continuo a non seguirti ma se procedo in questo modo è corretto?
\[lim_{x\to 0} \frac{1-cosx}{x^a*e^x} \]
per a>1
è uguale a
\[lim_{x\to 0} \frac{1-cosx}{x^2}\frac{1}{x^{a-2}e^x} \]
che è uguale a
\[\frac{1}{2}lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{a-2}e^x} \]
che va a 0 se e solo se a<2

Quindi l'integrale converge se e solo se a < 2

[Brancaleone1]

No!
Come ti ha già spiegato Obidream puoi utilizzare la parte principale (=stima asintotica) per $x->0$, cioé:

$lim_(x->0)(1-cos(x))/(x^alpha e^x)=text( McLaurin ) => (1-1+x^2/2+x^2omega(x))/(x^alphae^x)$ \(\displaystyle \sim \) $x^2/(2x^alpha)$.

Studiare questa è la stessa cosa che studiare la funzione di partenza (solo per $x->0$)

[adrianoft9189]

Ok adesso ho capito....uso lo sviluppo arrestato al 1° ordine. Comunque perchè è scorretto come l'ho fatto io?

[Brancaleone1]

"adrianoft":Ok adesso ho capito....uso lo sviluppo arrestato al 1° ordine.

Al 2° ordine Comunque può capitarti di dover sviluppare anche fino al 3°, al 4°... dipende dalla funzione che hai davanti.

Studiando $x^2/(2x^alpha)$ ti accorgi che non è vero che l'integrale converge per $alpha<2$:

$x^2/(2x^alpha)=1/2 1/(x^(alpha-2))$

$1/(x^(alpha-2))-> +oo$ per $x->0^+$. Sapendo che l'integrale converge solo se questo limite tende a un numero finito oppure a $oo$ con un ordine inferiore a $1$, si impone:

$alpha-2<1 =>alpha<3$

[adrianoft9189]

Mi confondo sempre con il numero dell'ordine xD comunque ho fatto un errore banale che ho corretto ma il risultato mi viene uguale

[adrianoft9189]

Ad ogni modo ringrazio tutti per le risposte

[Brancaleone1]

Occhio che hai "corretto male"
Hai riscritto

"adrianoft":\[\frac{1}{2}lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{a-2}e^x} \]
che va a 0 se e solo se a-2<1

Questo è sbagliato: il limite va a $0$ per $a<2$ (come avevi scritto in origine), va a $l in RR$ per $alpha=2$ mentre va a $oo$ per $2

Cita

Segnala