Convergenza in norma di serie complessa

[Controllore1]

Ciao ragazzi! Era da un po' che non scrivevo! Facendo esercizi, mi sono imbattuto in questa serie $ sum ((e^(ni)-1) (2n+i))/(n^3+i) $. Ho provato a risolvere l'esercizio con scarsi risultati. Ho provato a scindere la serie nella parte reale ed in quella immaginaria, ma già da qui ho avuto problemi! Qualcuno ha una dritta da darmi?

[erotvlas]

\(a_{n}=\frac{\left(e^{ni}-1\right)\left(2n+i\right)}{n^{3}+i}\)
\( \left|a_{n}\right|^{2}=a_{n}\overline{a_{n}}=\frac{\left(e^{ni}-1\right)\left(e^{-ni}-1\right)\left(2n+i\right)\left(2n-i\right)}{\left(n^{3}+i\right)\left(n^{3}-i\right)}=...=\frac{2\left(1+sin(n)\right)\left(4n^{2}+1\right)}{n^{6}+1}<\frac{2\cdot2\cdot5n^{2}}{n^{6}}=\frac{10}{n^{4}}\)
\( \left|a_{n}\right|=\frac{\sqrt{10}}{n^{2}}\)

[Controllore1]

Grazie! Non pensavo fosse così banale!

[gugo82]

Ma anche senza fare tutti 'sti conti... Usando la disuguaglianza triangolare \(\Big| |z|-|w|\Big| \leq |z-w|\leq |z|+|w|\) si trova:
\[
|a_n|\leq \frac{(|e^{\imath\ n}|+|1|)\ (|2n|+|\imath|)}{\Big| |n|^3-|\imath|\Big|} = \frac{2(2n+1)}{|n^3-1|}
\]
quindi \(\sum |a_n|\) si maggiora con una serie numerica convergente.

[Controllore1]

Questa è ancora più rapida! Grazie gugo!