Convergenza in misura
Salve a tutti. Cercando di rispondere a questo limite-di-successione-edit-convergenza-in-lp-t93492.html ho utilizzato questo teorema che caratterizza la convergenza in misura.
http://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_convergence_theorem
Tra le varie ipotesi dovevo verificare c'era la convergenza in misura.
Ricordo che $f_n$ converge in misura a $f$ se:
\[
\forall \varepsilon>0 \quad \lim_{n \to \infty}\ \ \mu\{x \in X \ \ : \ \ |f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon\} =0
\]
Mi chiedo: se $f_n$ converge in misura a $f$ e' vero che $|f_n|^p$ converge in misura a $|f|^p$?
Nella particolare situazione riguargdante la convergenza negli spaci $L^p$ (del thread linkato) sono riuscito a dimostrarlo
ma ho utilizzato l'uniforme integrabilita' delle $f_n$. Si puo' ottenere questo risultato in un contesto generale?
Ciao.
http://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_convergence_theorem
Tra le varie ipotesi dovevo verificare c'era la convergenza in misura.
Ricordo che $f_n$ converge in misura a $f$ se:
\[
\forall \varepsilon>0 \quad \lim_{n \to \infty}\ \ \mu\{x \in X \ \ : \ \ |f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon\} =0
\]
Mi chiedo: se $f_n$ converge in misura a $f$ e' vero che $|f_n|^p$ converge in misura a $|f|^p$?
Nella particolare situazione riguargdante la convergenza negli spaci $L^p$ (del thread linkato) sono riuscito a dimostrarlo
ma ho utilizzato l'uniforme integrabilita' delle $f_n$. Si puo' ottenere questo risultato in un contesto generale?
Ciao.
Risposte
Salve,
il risultato non è difficile da mostrare se $X$ è di misura finita. Se non è il caso, a $\delta$ fissato prendi $A$ tale che la misura di $\{|f|\geq A\}$ sia più piccola di $\delta$.
il risultato non è difficile da mostrare se $X$ è di misura finita. Se non è il caso, a $\delta$ fissato prendi $A$ tale che la misura di $\{|f|\geq A\}$ sia più piccola di $\delta$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo