Convergenza in misura
Ciao a tutti,
sto cercando un controesempio: vorrei far vedere che (per successioni di funzioni) convergenza in misura non implica convergenza $L^p$
Qualcuno mi aiuta? Ho cercato anche qui senza successo, forse mi sfugge qualcosa..
Grazie mille a chiuque si cimenti
sto cercando un controesempio: vorrei far vedere che (per successioni di funzioni) convergenza in misura non implica convergenza $L^p$
Qualcuno mi aiuta? Ho cercato anche qui senza successo, forse mi sfugge qualcosa..
Grazie mille a chiuque si cimenti
Risposte
Sonobsicuro che se cerchi trovi qualcosa che ti puo aiutare. Comunqur prendi $f_n=n I_{(0,1/n)}$ su (0,1) con la misura di Lebesgue. Convergono in misura a 0 ma non in media
Grazie mille per la risposta:
se ho capito bene $f_n := n*1_{(0,1/n)}(x)$ in (0,1) non converge a 0 in $L^p$ ad esempio preso $p=1$ ho che $\int_0^1 f_n(x) dx = 1 \forall n$
invece per far vedere che converge a 0 in misura come fai? Sfrutti il fatto che puntualmente (q.o.) $f_n(x) -> 0$ oppure usi la definizione di convergenza in misura?
se ho capito bene $f_n := n*1_{(0,1/n)}(x)$ in (0,1) non converge a 0 in $L^p$ ad esempio preso $p=1$ ho che $\int_0^1 f_n(x) dx = 1 \forall n$
invece per far vedere che converge a 0 in misura come fai? Sfrutti il fatto che puntualmente (q.o.) $f_n(x) -> 0$ oppure usi la definizione di convergenza in misura?
Puoi utilizzare entrambi.
Siccome lo spazio di misura è finito la convergenza q.o. implica la convergenza in misura; lo puoi anche vedere direttamente: $\mu{|f_n-0|> \varepsilon} <= 1/n \to 0$
Siccome lo spazio di misura è finito la convergenza q.o. implica la convergenza in misura; lo puoi anche vedere direttamente: $\mu{|f_n-0|> \varepsilon} <= 1/n \to 0$
Chiarissimo, grazie mille!
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