Convergenza in misura

[Seneca1]

Esercizio: Sia $(X , \mathcal{A} , \mu)$ uno spazio con misura finito ed $\{ f_n \}$ una successione di funzioni misurabili q.o. finite su $X$. Sia inoltre $g$ una funzione misurabile q.o. finita. Provare che se $f_n -> f$ in misura, allora $f_n g -> f g $ in misura.

Svolg:

Devo provare che \[ \forall \epsilon > 0 \;\;\;\;\;\;\;\; \mu \{ |f_n g - f g| \ge \epsilon \} \to 0 \;\;\; \text{per } n \to \infty \]
Presi $epsilon , delta > 0$ arbitrari:
\[ \begin{split} \mu \{ |f_n g - f g| \ge \epsilon \} &= \mu \{ |f_n g - f g| \ge \epsilon , |f_n - f | \ge \delta \} + \mu \{ |f_n g - f g| \ge \epsilon , |f_n - f | < \delta \} \\ & \le \mu \{ |f_n g - f g| \ge \epsilon , |f_n - f | \ge \delta \} + \frac{1}{\epsilon} \int_{|f - f_n | < \delta} |g| |f - f_n| d \mu \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{(dis. di Chebishev)} \\ &
\le \underbrace{\mu \{ |f_n g - f g| \ge \epsilon , |f_n - f | \ge \delta \} }_{\to 0} \;+ \delta \frac{\mu(X)}{\epsilon} \sup_{x \in \{|f - f_n| < \delta \} } |g| \end{split} \]
A secondo membro: il primo addendo è infinitesimo per $n -> +oo$ perché è la misura di un sottoinsieme dell'insieme $\{ | f_n - f| \ge \delta \}$, la cui misura tende a $0$ per l'ipotesi di convergenza in misura della successione $\{ f_n \}$. Per l'arbitrarietà di $delta$ mi piacerebbe far sparire anche il secondo addendo. Tuttavia, nonostante $|g|$ sia q.o. finita, non posso escludere che quell'estremo superiore sia $+ oo$... Potrei sistemare la cosa in qualche modo?

Grazie.

[Paolo902]

Chi si vede

Domanda: ma se $g$ è misurabile q.o. finita, allora posso dire che \( \Vert g \Vert_{\infty} = \text{esssup} \vert g \vert <+ \infty\)? Io credo di sì, tu che dici?

In tal caso...

...direi che tutto discende dal solito argomento:
\[
\vert f_ng-fg \vert = \vert f_n -f \vert \vert g \vert \le \vert f_n - f\vert \Vert g \Vert_\infty
\]
e quindi
\[
\mu(\{x: \vert f_ng- fg \vert \ge \varepsilon\Vert g \Vert_{\infty} \}) \le \mu(\{x: \vert f_n- f \vert \ge \varepsilon \})
\]
da cui la tesi, per completezza della misura.

Dov'è l'errore?

[Seneca1]

Chi non si vede, volevi dire...

Prima di tutto ti ringrazio per la risposta. Se per esempio $g : X = RR -> RR$ è data da $g(x) = x^2$, questa è ovunque finita; eppure su una semiretta del tipo $[k , + oo)$ non posso dire che il sup di $g$ è finito (né lo è il supess).

Probabilmente serve qualche osservazione sulla finitezza dello spazio che al momento mi sfugge...

EDIT: Ho dimenticato di specificare che anche $f$ è misurabile q.o. finita.

EDIT 2: Ora che ci penso, mi sembra che neppure $mu(X) < +oo$ garantisca quanto vorremmo. Se considerassimo $X = [0,1]$ con la misura di Lebesgue, si avrebbe che $mu(X) = 1$. Presa $g : X -> RR$, $g(x) = 1/x$, $\text{supess}_{x \in X} |g| = +oo$... Cosa ti sembra?

[Paolo902]

Hai perfettamente ragione, sono un cretino, scusami.

Ora penso un po' a come fare.

[Rigel1]

Hint: Avete già capito che se \(g\) è essenzialmente limitata allora la dimostrazione non presenta particolari problemi.
Nel caso generale, possiamo considerare ad esempio le troncature di \(g\) a livello \(k\):
\[
g_k(x) := [g(x)\wedge k] \vee (-k).
\]
Fissato \(\delta > 0\), esiste \(k > 0\) tale che \(\mu\{g\neq g_k\} < \delta\); teniamo poi conto del fatto che
\[
\{|f_n g - fg| > \epsilon\} \subseteq \{g\neq g_k\} \cup \{|f_n g_k - f g_k| > \epsilon\}.
\]

[Paolo902]

Ah, che bell'idea Rigel!
In pratica ti sei astutamente ricondotto a quello che dicevo io sopra: ora ogni singola $g_k$ è essenzialmente limitata (\(\Vert g_k \Vert_{\infty} \le k\) ) e quindi ho che \( \mu( \{\vert f_ng_k-fg_k\vert >\varepsilon \}) \to 0\) quando $n \to +\infty$. Si conclude, poi, per l'arbitrarietà del $\delta$.

Quello che ancora non vedo è come posso dimostrare l'osservazione cruciale: per ogni $\delta >0$ trovo $k$ tale che \( \mu(\{g \ne g_k\})<\delta\). Qui si dovrà usa la finitezza dello spazio, immagino (anche perché il controesempio di Seneca $x \mapsto x^2$ su $[0,+\infty)$ mostra che l'affermazione non è vera se rimuoviamo l'ipotesi di finitezza della misura).

[Rigel1]

Non è restrittivo supporre che \(g\) sia finita in ogni punto.
Definiamo \(A_k := \{g\neq g_k\} = \{ |g| \leq k\}\). Hai che \(A_k\subseteq A_{k+1}\) per ogni \(k\); inoltre \(\cup_k A_k = X\), con \(X\) di misura finita. Di conseguenza \(\mu(X\setminus A_k) \to 0\).

[Paolo902]

Chiarissimo, ti ringrazio.

Sulla stessa scia, sia $(f_n)_n$ una sequenza di funzioni misurabili q.o. finite definite su uno spazio di misura $X$, con $\mu(X)<+\infty$. Devo mostrare che esiste una successione di numeri positivi $(p_n)_n$ tali che
\[
p_nf_n \to 0 \text{ in misura.}
\]

Purtroppo qui ho poche idee. L'ipotesi che la misura dello spazio sia finita mi suggerisce di cercare in qualche modo di usare Severini-Egoroff o qualche sua variante... Qualche idea?
Grazie

[Rigel1]

Ragionando come prima, per ogni \(n\) puoi trovare \(k_n>0\) tale che
\[
\mu\{|f_n| > k_n\} < \frac{1}{n}\,.
\]
Se ora definisci \(p_n := 1/(n k_n)\), avrai che
\[
\mu\left\{|p_n f_n| > \frac{1}{n}\right\} < \frac{1}{n}\,.
\]

[Seneca1]

Magnifico... Vi ringrazio!

[Seneca1]

Esercizio:
Sia $\{ f_n \}$ una successione di funzioni integrabili su uno spazio con misura $(X, \mathcal{A},\mu)$ tale che
\[ \lim_{n \to \infty} \int_X | f_n | = 0 \]
Provare che $f_n \to 0$ in misura.

\[ \forall \varepsilon > 0 \; \; \exists \; N \;\; \text{ tale che } \; \forall n > N \;\; \text{ vale } \;\; \int_X | f_n | < \varepsilon \]
Prendo $\varepsilon = \delta \eta$. Allora, $\forall \eta , \delta > 0$ , definitivamente vale
\[\varepsilon = \delta \eta > \int_X | f_n | \;\;\;\Rightarrow \;\;\; \eta > \dfrac{1}{\delta} \; \int_X | f_n | \; \overset{\text{Chebishev}}{\ge} \mu \{ |f_n| \ge \delta \} \]
Quindi $\forall \delta > 0$, \[ \mu \{ |f_n| \ge \delta \} \to 0 \;\;\; \text{ per } n \to \infty \] ovvero $f_n \to 0$ in misura.

Direi che non ci sono problemi eccetto la scelta di scrivere $epsilon$ come prodotto di $delta$ e $eta$. Secondo voi funziona? Grazie.

[aizarg1]

\(\displaystyle A_n=\{x: | f_n|\geq \epsilon \}\)

Integrando su \( A_n\):

\( \displaystyle \epsilon \mu( A_n) \leq \int_{A_n}|f_n|\leq \int_X |f_n|\)

da cul:

\( \displaystyle lim \) \(A_n =0\)

[Rigel1]

La dimostrazione è corretta, anche se secondo me compaiono un po' troppe quantità arbitrarie.
Più semplicemente, avrei usato direttamente il passaggio con la disug. di Chebishev:
\[
\mu\{|f_n| > \delta\} \leq \frac{1}{\delta} \int_X |f_n| d\mu \to 0, \qquad \forall \delta > 0.
\]

Edit: non avevo letto il contributo di aizarg.