Convergenza in media quadratica di serie di Fourier
Salve.
Volevo chiedervi informazioni riguardo la verifica della convergenza in media quadratica di una serie di Fourier (in quanto si trova davvero pochissimo materiale).
Ho letto su una dispensa che basti verificare la seguente uguaglianza:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{2\pi}S_n(x)dx = \int_0^{2\pi}f(x)dx \)
dove
\(\displaystyle S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)) \)
Il problema è che non so bene come calcolare l'integrale di una sommatoria (e non sono riuscito a trovare esempi).
Come faccio a calcolare ad esempio:
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}{2\over\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}\left((-1)^k\left(\frac{2}{k^2}-\pi^2\right)-\frac{2}{k^2}\right)\sin(kx)dx \)
Sono abbastanza cherto che ci siano dei teoremi o comunque qualche trucchetto che permettano di evitare quel calcolo per quasi tutti gli esercizi dei temi d'esame.
Volevo chiedervi informazioni riguardo la verifica della convergenza in media quadratica di una serie di Fourier (in quanto si trova davvero pochissimo materiale).
Ho letto su una dispensa che basti verificare la seguente uguaglianza:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{2\pi}S_n(x)dx = \int_0^{2\pi}f(x)dx \)
dove
\(\displaystyle S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)) \)
Il problema è che non so bene come calcolare l'integrale di una sommatoria (e non sono riuscito a trovare esempi).
Come faccio a calcolare ad esempio:
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}{2\over\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}\left((-1)^k\left(\frac{2}{k^2}-\pi^2\right)-\frac{2}{k^2}\right)\sin(kx)dx \)
Sono abbastanza cherto che ci siano dei teoremi o comunque qualche trucchetto che permettano di evitare quel calcolo per quasi tutti gli esercizi dei temi d'esame.
Risposte
La definizione di convergenza in media quadratica si può esprimere (ovviamente anche senza radice) così:
$ lim_(n->infty) sqrt(int_0^(2pi) abs(S_n(x)-f(x))^2 dx $
Poi un teorema dice che se la funzione limite $ in L^2(0,2pi) $ allora le somme parziali convergono in quel senso.
Per quanto riguarda lo scambio integrale serie, ci sono dei teoremi che ti permettono di farlo ma solo con opportune ipotesi e convergenza uniforme.
$ lim_(n->infty) sqrt(int_0^(2pi) abs(S_n(x)-f(x))^2 dx $
Poi un teorema dice che se la funzione limite $ in L^2(0,2pi) $ allora le somme parziali convergono in quel senso.
Per quanto riguarda lo scambio integrale serie, ci sono dei teoremi che ti permettono di farlo ma solo con opportune ipotesi e convergenza uniforme.
cosa intendi con la funzione L?
Significa che la funzione ha quadrato integrabile. $ int_0^(2pi) abs(f(x))^2dx < +infty $
Ricapitolando, si può affermare che, data una funzione \(\displaystyle f(x) \) da approssimare con la serie di fourier, la serie converge in media quadratica se $ int_0^(2pi) abs(f(x))^2dx < +infty $ ?
Sarebbe magnifico dato che in questo modo non ho a che fare con la serie ma solo con la funzione della quale è molto semplice da calcolare l'integrale di solito.
Data la carenza estrema di materiale per questo specifico argomento, potresti indicarmi il nome/autore di questo teorema? Mi servirebbe per cercare informazioni in rete.
Sarebbe magnifico dato che in questo modo non ho a che fare con la serie ma solo con la funzione della quale è molto semplice da calcolare l'integrale di solito.
Data la carenza estrema di materiale per questo specifico argomento, potresti indicarmi il nome/autore di questo teorema? Mi servirebbe per cercare informazioni in rete.
Vuoi dire che non trovi la dimostrazione?
Voglio dire che non so cosa scrivere su google per trovare enunciato, dimostrazione, esempi ecc
Grazie mille per l'aiuto.
Grazie mille per l'aiuto.
C'è su qualsiasi libro che tratta le serie di Fourier, comunque si parla di convergenza in media quadratica o norma $ L^2 $.
Sono riuscito a trovarlo su questo libro. Non è diverso da come l'hai detto tu ma c'è la dimostrazione.
Abbastanza anonimo come teorema a quanto pare
https://books.google.it/books?id=4MfUAg ... ca&f=false
Abbastanza anonimo come teorema a quanto pare
https://books.google.it/books?id=4MfUAg ... ca&f=false
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