Convergenza in media quadratica
Come faccio a dire per quali valori di $\alpha$ la funzione $f(t)={(1/{|t-\pi|^{2\alpha}),if t\ne \pi),(3,if t=\pi):}$ converge in media quadratica?
Dunque, io farei così:
$\int_{0}^{2\pi} (f(t))^2 dt < +\infty$
E ottengo che $\int_{0}^{2\pi} 1/{|t-\pi|^{4\alpha}} dt < +\infty$ per $4\alpha<1$ ovvero per $0\leq\alpha\<1/4$
Ma perché l'integrale è limitato, o meglio assume un valore finito per $4\alpha<1$???
Lo so è una cavolata forse, ma non riesco a vederlo!!!! sarà lo stress!
Grazie
Dunque, io farei così:
$\int_{0}^{2\pi} (f(t))^2 dt < +\infty$
E ottengo che $\int_{0}^{2\pi} 1/{|t-\pi|^{4\alpha}} dt < +\infty$ per $4\alpha<1$ ovvero per $0\leq\alpha\<1/4$
Ma perché l'integrale è limitato, o meglio assume un valore finito per $4\alpha<1$???
Lo so è una cavolata forse, ma non riesco a vederlo!!!! sarà lo stress!
Grazie
Risposte
Ricordati il mitico teorema sulla sommabilità di $1/(|x|^alpha)$: in un intorno di $0$ questa funzione è sommabile se e solo se $alpha<1$. (In un intorno di $infty$ è tutto il contrario: $alpha>1$). Una conseguenza immediata è che $1/(|x|^alpha)$ è $p$-sommabile in un intorno dello $0$ se e solo se $alphap<1$.
Ah, quindi non c'è modo, se non sapendo il teorema di stabilire se la $f(t)$ converge in media quadratica?
Io quel teorema non lo conoscevo!
Io quel teorema non lo conoscevo!
Non lo conoscevi? E allora dimostratelo: é facile, basta calcolare l'integrale $int_c^1(1/x^alpha)"d"x$. Per quali valori di $alpha$ il limite per $c\to0$ esiste finito? Si generalizza subito a $1/(|x|^alpha)$, e anche al caso di integrali "all'infinito" $int_1^infty(1/(x^alpha))"d"x$. Ti consiglio di familiarizzare con questi integrali notevoli perché sono i principali campioni con cui confrontare delle funzioni di cui stai indagando la sommabilità.
Ok, grazie! Prendo nota!
Mi sono imbattuto su un altro esempio:
$1/{|t|^{1/4}|e^t-1|^{1/8}}$
In questo caso non ho solo un termine del tipo $1/{|x|^\alpha}$ Quindi non posso dire che è sommabile per $\alpha<1$.
Per caso invece posso assumere che è di quadrato sommabile visto che $|t|^{1/4}$ domina rispetto a $|e^t-1|^{1/8}$ e $1/4<1$?
$1/{|t|^{1/4}|e^t-1|^{1/8}}$
In questo caso non ho solo un termine del tipo $1/{|x|^\alpha}$ Quindi non posso dire che è sommabile per $\alpha<1$.
Per caso invece posso assumere che è di quadrato sommabile visto che $|t|^{1/4}$ domina rispetto a $|e^t-1|^{1/8}$ e $1/4<1$?
"dissonance":
Ricordati il mitico teorema sulla sommabilità di $1/(|x|^alpha)$: in un intorno di $0$ questa funzione è sommabile se e solo se $alpha<1$. (In un intorno di $infty$ è tutto il contrario: $alpha>1$). Una conseguenza immediata è che $1/(|x|^alpha)$ è $p$-sommabile in un intorno dello $0$ se e solo se $alphap<1$.
Ma questo teorema compare anche sotto qualche altro nome? Non trovo nulla su google, se metto teorema sulla sommabilità che riporti a quanto hai detto!
Spero sia giusto perché l'ho applicato ad un esercizio su un testo d'esame ieri!!!
(Scherzo eh!) 
"Teorema sulla sommabilità di (...)" me lo sono inventato io, ma se hai seguito un corso (o letto un libro su) l'integrazione in senso improprio sono certo che ti hanno insegnato a riconoscere subito per quali esponenti $alpha$ l'integrale $int_0^11/(x^alpha)$ esiste finito. Da questo discende immediatamente il criterio che dicevo prima.
P.S.: Stai attento all'esercizio precedente, non mi pare giusto. Stabilisci per bene qual'è l'ordine di infinito di $1/{|t|^{1/4}|e^t-1|^{1/8}}$ per $t\to 0$.
[edit] 2000° post!
P.S.: Stai attento all'esercizio precedente, non mi pare giusto. Stabilisci per bene qual'è l'ordine di infinito di $1/{|t|^{1/4}|e^t-1|^{1/8}}$ per $t\to 0$.
[edit] 2000° post!
No perché ho giustificato una risposta mettendo tra parentesi (teorema sulla sommabilità, o p-sommabilità).
Dunque per t che tende a 0 ho al denominatore uno $0^{1/4}**0^{1/8}$... quindi? mi sfugge qualcosa.
Dunque per t che tende a 0 ho al denominatore uno $0^{1/4}**0^{1/8}$... quindi? mi sfugge qualcosa.
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