Convergenza in L^2 & convergenza uniforme
Per quanto abbia spulciato i libri non ho mai trovato un punto in cui si dice chiaramente che relazione c'e' fra le due convergenze.
In particolare abbiamo una successione di $u_n$ che converge a $u$ in $L^2(Omega)$ dove $Omega$ e' un insieme COMPATTO. Si puo' dire che $u_n -> u$ uniformemente?
A me sembrerebbe che, se $u_n$ e $u$ sono continue e scegliamo in $L^2$ i "rappresentanti" continui questo sia vero...
Io ho ragionato cosi': la convergenza in $L^2$ sicuramente implica quella quasi ovunque (piu' che implicarla la convergenza in $L^2$ E' quella quasi ovunque). Siccome abbiamo scelto i rappresentanti $C^0$ delle funzioni abbiamo anche la convergenza puntuale.
Per quella uniforme dovremmo guardare:
sup $| u_n - u | $
e vedere se va a 0. Siccome $u_n - u$ e' una funzione continua su un compatto il sup si identifica col max. (quindi e' assunto).
Se per assurdo:
$ lim_(n -> oo) max_(Omega) | u_n - u | = M > 0 $
Sia $x_0$ un punto in cui questo max e' assunto, per la continuita' dovrebbe esistere un $cc U_(epsilon) ( x_0 )$ in cui $ |u_n - u| > 0 AA n $, allora:
$ int_(cc U_(epsilon)) | u_n - u |^2 > 0 $
e questo contraddirebbe l'ipotesi di convergenza in $L^2$.
Secondo voi tutto questo e' giusto?
Ringrazio in anticipo tutti coloro che sono arrivati a leggere fino qui' e, in modo particolare, tutti quelli che vorranno farmi sapere se quello che ho scritto e', secondo loro, corretto.
PS: Bello questo mathML!!!
In particolare abbiamo una successione di $u_n$ che converge a $u$ in $L^2(Omega)$ dove $Omega$ e' un insieme COMPATTO. Si puo' dire che $u_n -> u$ uniformemente?
A me sembrerebbe che, se $u_n$ e $u$ sono continue e scegliamo in $L^2$ i "rappresentanti" continui questo sia vero...
Io ho ragionato cosi': la convergenza in $L^2$ sicuramente implica quella quasi ovunque (piu' che implicarla la convergenza in $L^2$ E' quella quasi ovunque). Siccome abbiamo scelto i rappresentanti $C^0$ delle funzioni abbiamo anche la convergenza puntuale.
Per quella uniforme dovremmo guardare:
sup $| u_n - u | $
e vedere se va a 0. Siccome $u_n - u$ e' una funzione continua su un compatto il sup si identifica col max. (quindi e' assunto).
Se per assurdo:
$ lim_(n -> oo) max_(Omega) | u_n - u | = M > 0 $
Sia $x_0$ un punto in cui questo max e' assunto, per la continuita' dovrebbe esistere un $cc U_(epsilon) ( x_0 )$ in cui $ |u_n - u| > 0 AA n $, allora:
$ int_(cc U_(epsilon)) | u_n - u |^2 > 0 $
e questo contraddirebbe l'ipotesi di convergenza in $L^2$.
Secondo voi tutto questo e' giusto?
Ringrazio in anticipo tutti coloro che sono arrivati a leggere fino qui' e, in modo particolare, tutti quelli che vorranno farmi sapere se quello che ho scritto e', secondo loro, corretto.
PS: Bello questo mathML!!!
Risposte
Prendi una successione di funzioni continue il cui grafico sta a $0$ in quasi tutto $[0,1]$, e fa un triangolo di altezza costante $1$ in prossimita' di $1$ tornando a $0$ in $x=1$. Se la base e' infinitesima allora tale successione va a $0$ in $L^2$, tende a $0$ puntualmente ovunque, e' fatta da funzioni continue con limite continuo. Ma la convergenza non e' uniforme.
A proposito, ho idea che la tua dimostrazione non funzioni perche' hai dimenticato una cosa fondamentale. Il massimo di $u_n-u$ che dici giustamente che e' assunto, ma e' assunto in un punto che dipende da $n$.
Per cominciare ti ringrazio di avermi risposto.
Il tuo esempio mi ha chiarito di molto le idee: magari mi fosse subito sovvenuto in mente mi sarei risparmiato un po' di inutili elocubrazioni!
Sapevo che $x_0 = x_0(n)$, tuttavia non capisco come la cosa possa influenzare la "dimostrazione": posso sempre trovare una successione di intorni di raggio $epsilon$ dei vari $x_0(n)$ in cui l'integrale si mantiene strettamente positivo, per dirne una, ad esempio, per il teorema della media integrale... e poi, ad esempio, nel tuo esempio l'$x_0$ non dipende da $n$...
Quello che mi viene da pensare e' che il problema sia sorto dal fatto che l'$ | cc U_n | -> 0$, quando $ n -> 00$...
PS: E' incredibile come, anche con ipotesi cosi' forti come quelle in cui mi sono messo, non si riesca a "colmare" la "distanza" fra la convergenza in $L^2$ e $C^0$!
Il tuo esempio mi ha chiarito di molto le idee: magari mi fosse subito sovvenuto in mente mi sarei risparmiato un po' di inutili elocubrazioni!
Sapevo che $x_0 = x_0(n)$, tuttavia non capisco come la cosa possa influenzare la "dimostrazione": posso sempre trovare una successione di intorni di raggio $epsilon$ dei vari $x_0(n)$ in cui l'integrale si mantiene strettamente positivo, per dirne una, ad esempio, per il teorema della media integrale... e poi, ad esempio, nel tuo esempio l'$x_0$ non dipende da $n$...
Quello che mi viene da pensare e' che il problema sia sorto dal fatto che l'$ | cc U_n | -> 0$, quando $ n -> 00$...
PS: E' incredibile come, anche con ipotesi cosi' forti come quelle in cui mi sono messo, non si riesca a "colmare" la "distanza" fra la convergenza in $L^2$ e $C^0$!
No, no attento nel mio esempio $x^0$ dipende proprio da $n$, e tende a 1, estremo dell'intervallo. Non sono convinto che la tua dimostrazione funzioni anche se $x_0$ dipende da $n$, se non altro per la presenza del controesempio....
Avevo capito che il vertice del triangolo fosse fisso in un punto $x_0$ e che poi la base si stringesse mantenedolo fisso...
In ogni caso che la "dimostrazione" sia sbagliata e' senz'altro vero: il tuo controesempio ne e' la prova.
Sto', piuttosto, cercando di capire dove per non commettere ancora lo stesso errore.
Penso, pero', che se l'errore fosse tutto nell' $x_0 = x_0(n)$ dovrebbe essere possibile aggiungendo l'ipotesi (forzosa) che $x_0$ non dipenda da $n$ dimostrare il teorema. Invece anche aggiungendo questa ipotesi una successione di funzioni come quella a triangolo, con vertice fisso e base che diminuisce con n, converge puntualmente ovunque e non uniformemente.
A questo punto il problema penso sia nell'$epsilon$ intorno su cui faccio l'integrale: va a zero al crescere di $n$. Nel caso della successione di prima si vede come l'$epsilon$ intorno che e' contenuto nella base del triangolo venga "schiacciato" a zero. Solo che non capisco da dove si "veda" questo nelle ipotesi generali in cui mi sono messo (con l'$x_0$ forzosamente fisso). In altre parole qual'e' il mio errore?
In ogni caso che la "dimostrazione" sia sbagliata e' senz'altro vero: il tuo controesempio ne e' la prova.
Sto', piuttosto, cercando di capire dove per non commettere ancora lo stesso errore.
Penso, pero', che se l'errore fosse tutto nell' $x_0 = x_0(n)$ dovrebbe essere possibile aggiungendo l'ipotesi (forzosa) che $x_0$ non dipenda da $n$ dimostrare il teorema. Invece anche aggiungendo questa ipotesi una successione di funzioni come quella a triangolo, con vertice fisso e base che diminuisce con n, converge puntualmente ovunque e non uniformemente.
A questo punto il problema penso sia nell'$epsilon$ intorno su cui faccio l'integrale: va a zero al crescere di $n$. Nel caso della successione di prima si vede come l'$epsilon$ intorno che e' contenuto nella base del triangolo venga "schiacciato" a zero. Solo che non capisco da dove si "veda" questo nelle ipotesi generali in cui mi sono messo (con l'$x_0$ forzosamente fisso). In altre parole qual'e' il mio errore?
Attento che pero' se ammeti che il massimo non dipenda da $n$ allora mi sa che il limite puntuale non ti viene continuo. E' per questo motivo che io ho scritto l'esempio in cui il massimo si sposta verso l'estremo dell'intervallo, per garamtire la continuita' del limite puntuale.
Se non sei interessato alla continuita' del limite puntuale allora e' ovvio che una successione di funzioni continue non puo' convergere uniformemente ad una funzione non continua.
Se non sei interessato alla continuita' del limite puntuale allora e' ovvio che una successione di funzioni continue non puo' convergere uniformemente ad una funzione non continua.
Si che stupido che sono!
Hai perfettamente ragione!
Ho provato ad aggiungere l'ipotesi che la successione sia limitata e indicizzata con indice continuo e, mi sembra, di essere riuscito a dimostrare la convergenza uniforme.
La posto in TeX perche' e' un po' lunga e ho paura che col mathML non si capisca niente:
Cosa ne pensi di quest'ultimo tentativo di dimostrazione?
Hai perfettamente ragione!
Ho provato ad aggiungere l'ipotesi che la successione sia limitata e indicizzata con indice continuo e, mi sembra, di essere riuscito a dimostrare la convergenza uniforme.
La posto in TeX perche' e' un po' lunga e ho paura che col mathML non si capisca niente:
Cosa ne pensi di quest'ultimo tentativo di dimostrazione?
Non ho capito quasi nulla, anzitutto non dici che cosa e' $\tau$ cosa e' $t_0$..... E poi se fosse vero quello che hai enunciato, allora sarebbe vero se $t$ fosse un parametro discreto, ma vero non lo e'...
Esiste una caratterizzazione della convergenza uniforme: una successione di funzioni continue $u_n$ converge uniformemente ad una funzione continua $u$ su un compatto, se e solo se $|u_n(x_n)-u(x_n)| \to 0$, per ogni successione $x_n$ nel compatto.
Esiste una caratterizzazione della convergenza uniforme: una successione di funzioni continue $u_n$ converge uniformemente ad una funzione continua $u$ su un compatto, se e solo se $|u_n(x_n)-u(x_n)| \to 0$, per ogni successione $x_n$ nel compatto.
Stamattina dovevo essere proprio fuori! 
Ho scritto un bel po' di stupidate! Solo che mi sono accorto di aver scritto delle stupidate soltanto quando ero a lezione e non ho potuto correggermi subito.
Solo per completezza, comunque, spiego che cosa ho scritto e dove ho sbagliato di modo che chi legge possa imparare dai miei errori.
Volevo trovare una minorazione del tipo:
$ |u(t;s) - g(t)| < epsilon $ (1)
Con $epsilon$ infinitesima quando $s -> 0$ che e' una definizione di convergenza uniforme per successioni indicizzate con parametro continuo che ho trovato sul mio libro di Analisi II.
Il motivo per richiedere che $t$ fosse continuo era quello di poter fare un "doppio limite": prima far tendere $t$ a $tau$ (parametro continuo positivo) e poi $tau$ a zero in questo modo avrei creato una successione in $tau$ per cui vale la disuguaglianza (1). Questo ovviamente non si puo' fare per le successioni discrete che visto che si richiede all'insieme su cui varia $t$ di avere un numero di punti di accumulazione infinito non numerabile.
Poi seguono tutte quelle minorazioni che, se fossero state corrette, avrebbero portato alla tesi. Oltre ad altri errori che non ho trovato quello che mi sembra cruciale e' quello all'ultimo passaggio dove ho posto:
$ sqrt(|Omega(t)|) / |Omega(t) | \leq 1 $
Che ovviamente e' falso.
Per finire nelle ipotesi in cui mi sono messo vale ancora il controesempio di Luca e, addirittura, l'ultra-famoso esempio:
$ x^(1/t) $ in $(0,1) $.
Con $t -> 0$.
In ogni caso l'importante e' che abbia capito cosa non andava in tutti questi ragionamenti.
Ringrazio Luca per la pazienza nel leggere e correggere tutte queste "dimostrazioni".
Grazie anche per la caratterizzazione delle successioni che convergono uniformemente: e' una caratterizzazione che avevo in mente, ma non sapevo se fosse corretta. In pratica mi sono sempre figurato la convergenza uniforma come una convergenza puntuale su *$RR$ (i cui elementi in pratica sono classi di equivalenza di successioni numeriche (ovviamente non e' una definizione rigorosa)).
Ho scritto un bel po' di stupidate! Solo che mi sono accorto di aver scritto delle stupidate soltanto quando ero a lezione e non ho potuto correggermi subito.
Solo per completezza, comunque, spiego che cosa ho scritto e dove ho sbagliato di modo che chi legge possa imparare dai miei errori.
Volevo trovare una minorazione del tipo:
$ |u(t;s) - g(t)| < epsilon $ (1)
Con $epsilon$ infinitesima quando $s -> 0$ che e' una definizione di convergenza uniforme per successioni indicizzate con parametro continuo che ho trovato sul mio libro di Analisi II.
Il motivo per richiedere che $t$ fosse continuo era quello di poter fare un "doppio limite": prima far tendere $t$ a $tau$ (parametro continuo positivo) e poi $tau$ a zero in questo modo avrei creato una successione in $tau$ per cui vale la disuguaglianza (1). Questo ovviamente non si puo' fare per le successioni discrete che visto che si richiede all'insieme su cui varia $t$ di avere un numero di punti di accumulazione infinito non numerabile.
Poi seguono tutte quelle minorazioni che, se fossero state corrette, avrebbero portato alla tesi. Oltre ad altri errori che non ho trovato quello che mi sembra cruciale e' quello all'ultimo passaggio dove ho posto:
$ sqrt(|Omega(t)|) / |Omega(t) | \leq 1 $
Che ovviamente e' falso.
Per finire nelle ipotesi in cui mi sono messo vale ancora il controesempio di Luca e, addirittura, l'ultra-famoso esempio:
$ x^(1/t) $ in $(0,1) $.
Con $t -> 0$.
In ogni caso l'importante e' che abbia capito cosa non andava in tutti questi ragionamenti.
Ringrazio Luca per la pazienza nel leggere e correggere tutte queste "dimostrazioni".
Grazie anche per la caratterizzazione delle successioni che convergono uniformemente: e' una caratterizzazione che avevo in mente, ma non sapevo se fosse corretta. In pratica mi sono sempre figurato la convergenza uniforma come una convergenza puntuale su *$RR$ (i cui elementi in pratica sono classi di equivalenza di successioni numeriche (ovviamente non e' una definizione rigorosa)).
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