Convergenza in $L_{loc}^1(Omega)$

[Nebula2]

domanda molto triviale: non ricordo/trovo una definizione.
come si definisce la distanza in $L_{loc}^1(Omega)$?

[dissonance]

domanda molto triviale

Banale. In italiano "triviale" ha un significato completamente diverso: significa "volgare, pacchiano". Se vuoi saperne di più chiedi a Gugo (o cerca nei suoi post precedenti).

Comunque, in $L_{"loc"}^1(Omega)$ la distanza è un po' complicata, infatti la sua struttura naturale non è di spazio normato ma di spazio localmente convesso. Puoi trovare maggiori informazioni su Gilardi, Esempio 4.27 pagina 212.

[Nebula2]

dal sabatini coletti:

triviale [tri-vià-le] agg.
1 Volgare, grossolano: persona t.; espressioni t.
2 non com. Banale

chiedo scusa per l'espressione non comune, quindi...

darò un'occhiata sul gilardi quando lo rimedio, allora.
sapresti intanto accennarmi la convergenza forte in $L_{loc}^1$?

[dissonance]

Ma non devi rimediare niente, sono dispense on-line. Segui il link.

[Nebula2]

"dissonance":Ma non devi rimediare niente, sono dispense on-line. Segui il link.

visto, grazie.

[dissonance]

Prego, figurati. Comunque la convergenza in $L_{"loc"}^1(Omega)$ si può descrivere in modo intuitivo. Abbiamo infatti che $f_n \to f$ in $L_{"loc"}^1(Omega)$ se e solo se per ogni compatto $K \subset Omega$ si ha

$int_K|f_n-f|dx \to 0$.

Questo è il succo. Chiaramente, se vuoi fare un discorso più raffinato dal punto di vista topologico non puoi uscirtene così; però l'idea è questa. Su Gilardi poi puoi trovare tutti i dettagli.