Convergenza funzioni misurabili e periodiche
ciao ragazzi,
vi posto un problema che mi sta infastidendo da un paio di giorni. l'argomento dovrebbe essere analisi reale e funzionale, ma siccome il testo è abbastanza generico forse bisogna attingere anche a conoscenze da altre parti.
allora il testo dice:
Sia $f: RR \to RR$ misurabile e periodica di periodo 1, tale che $\int_0^1 f(t)dt = 1$.
Mostrare che $lim _{n \to +\infty}$ $ \int_a^b f(nt)dt =b-a$.
ovviamente siamo nel contesto della misura di Lebesgue.
Personalmente, ho pensato che potessimo scrivere la funzione di partenza come una serie in virtù della sua periodicità, usando le funzioni indicatrici $\chi$:
$f(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} f(t - k) \chi_{[k,k+1]}$
è vero, in questo modo la funzione è $f:[0,\infty] \to RR$ ma trattandosi di una prima bozza mi sembrava di non perdere troppa generalità. inoltre mi sono bloccato già così, quindi non sono stato a complicarmi oltre la vita.
a questo punto vorrei scrivere l'integrale della tesi e scambiare serie ed integrale (almeno formalmente, poi se non converge tenterò un'altra strada).
$lim _{n \to +\infty}$ $\sum_{k=0}^{+\infty} \int_a^b f( n(t-k) )\chi_{[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]}dt$
dove ho usato il fatto che $\chi_{[a,b]}(nt) = \chi_{[\frac{a}{n},\frac{b}{n}]}(t)$
a questo punto moralmente quello che vorrei dire è che:
1) per $n$ fissato, ci saranno solo alcuni $k$ tali per cui $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]$ è incluso in $[a,b]$. d'altronde tutti questi intervalli sono di ampiezza $1/n$, che è esattamente il periodo della $f(nt)$, quindi i loro integrali sono tutti $1$.
2) ne vorrei concludere che, poiché tutti questi integrali sono uno, mi rimangono degli integrali di funzioni indicatrici che sommati tutti insieme mi danno la misura di $[a,b]$, ovvero b-a.
questa è la mia idea in soldoni, però non riesco a darle una forma matematica che abbia senso..
se ho scritto delle stupidate o se un'altra strada sarebbe stata molto più semplice sarò ben felice di sentire i vostri pareri.
grazie in anticipo!
vi posto un problema che mi sta infastidendo da un paio di giorni. l'argomento dovrebbe essere analisi reale e funzionale, ma siccome il testo è abbastanza generico forse bisogna attingere anche a conoscenze da altre parti.
allora il testo dice:
Sia $f: RR \to RR$ misurabile e periodica di periodo 1, tale che $\int_0^1 f(t)dt = 1$.
Mostrare che $lim _{n \to +\infty}$ $ \int_a^b f(nt)dt =b-a$.
ovviamente siamo nel contesto della misura di Lebesgue.
Personalmente, ho pensato che potessimo scrivere la funzione di partenza come una serie in virtù della sua periodicità, usando le funzioni indicatrici $\chi$:
$f(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} f(t - k) \chi_{[k,k+1]}$
è vero, in questo modo la funzione è $f:[0,\infty] \to RR$ ma trattandosi di una prima bozza mi sembrava di non perdere troppa generalità. inoltre mi sono bloccato già così, quindi non sono stato a complicarmi oltre la vita.
a questo punto vorrei scrivere l'integrale della tesi e scambiare serie ed integrale (almeno formalmente, poi se non converge tenterò un'altra strada).
$lim _{n \to +\infty}$ $\sum_{k=0}^{+\infty} \int_a^b f( n(t-k) )\chi_{[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]}dt$
dove ho usato il fatto che $\chi_{[a,b]}(nt) = \chi_{[\frac{a}{n},\frac{b}{n}]}(t)$
a questo punto moralmente quello che vorrei dire è che:
1) per $n$ fissato, ci saranno solo alcuni $k$ tali per cui $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]$ è incluso in $[a,b]$. d'altronde tutti questi intervalli sono di ampiezza $1/n$, che è esattamente il periodo della $f(nt)$, quindi i loro integrali sono tutti $1$.
2) ne vorrei concludere che, poiché tutti questi integrali sono uno, mi rimangono degli integrali di funzioni indicatrici che sommati tutti insieme mi danno la misura di $[a,b]$, ovvero b-a.
questa è la mia idea in soldoni, però non riesco a darle una forma matematica che abbia senso..
se ho scritto delle stupidate o se un'altra strada sarebbe stata molto più semplice sarò ben felice di sentire i vostri pareri.
grazie in anticipo!
Risposte
Io farei banalmente un cambiamento di variabile:
$\int_a^b f(nt) dt = \frac{1}{n}\int_{na}^{nb} f(s) ds$.
A questo punto consideri $p = "ParteIntera"(na)$, $q = "ParteIntera"(nb)$, e ottieni
$\frac{1}{n}\int_p^q f(s) ds + "resto" = \frac{q-p}{n} + "resto"$.
Il resto tende a $0$ per $n\to +\infty$, mentre $\frac{q-p}{n}\to b-a$.
Se non vuoi resti, tieni conto che non è restrittivo supporre $a$ e $b$ razionali (per l'assoluta continuità dell'integrale).
$\int_a^b f(nt) dt = \frac{1}{n}\int_{na}^{nb} f(s) ds$.
A questo punto consideri $p = "ParteIntera"(na)$, $q = "ParteIntera"(nb)$, e ottieni
$\frac{1}{n}\int_p^q f(s) ds + "resto" = \frac{q-p}{n} + "resto"$.
Il resto tende a $0$ per $n\to +\infty$, mentre $\frac{q-p}{n}\to b-a$.
Se non vuoi resti, tieni conto che non è restrittivo supporre $a$ e $b$ razionali (per l'assoluta continuità dell'integrale).
[mod="dissonance"]Sposto in Analisi.[/mod]
ciao!
innanzitutto grazie per la risposta e chiedo scusa per aver sbagliato sezione!
ho una domandina: il cambio di variabili è giustificato perchè la composizione di una misurabile ($f(y)$) e una continua ($y=nt$) è ancora misurabile?
mi è piaciuta l'argomentazione dell'assoluta continuità dell'integrale, era proprio quello il passaggio che mi mancava per dire che bastava farlo sui razionali!
grazie mille
innanzitutto grazie per la risposta e chiedo scusa per aver sbagliato sezione!
ho una domandina: il cambio di variabili è giustificato perchè la composizione di una misurabile ($f(y)$) e una continua ($y=nt$) è ancora misurabile?
mi è piaciuta l'argomentazione dell'assoluta continuità dell'integrale, era proprio quello il passaggio che mi mancava per dire che bastava farlo sui razionali!
grazie mille
Per poter effettuare un cambiamento di variabile ci vuole maggiore regolarità che non la semplice continuità; le ipotesi classiche richiedono che la trasformazione (biiettiva) sia di classe $C^1$, richiesta che può essere variamente indebolita (vedi ad es. il Thm. 7.26 di Rudin, Real and Complex Analysis).
In questo caso non ci sono problemi, visto che si tratta di una trasformazione lineare.
In questo caso non ci sono problemi, visto che si tratta di una trasformazione lineare.
ok, grazie per l'indicazione mi sono letto bene il rudin.
ora ho un altro dubbio però, che nella tua dimostrazione si presenta quando dici $\frac{ParteIntera[na]}{n} \to a$. In pratica io posso facilmente trovare una sottosuccessione (le potenze di 10) che ci tendono. questo mi basta a dire (perchè la succ. è di cauchy?) che allora l'intera successione tende a quel valore?
il problema si presenta sotto la stessa forma quando suppongo $a$ e $b$ razionali. ho $\frac{1}{n}\int_{na}^{nb}f$ e prendendo $a = p\q $ e $b = p_1\q_1$ posso trovare la sottosuccessione $n_k = q \times q_1 \times k$ che mi permette di avere tutti gli integrali su intervalli multipli di $1$, e quindi del periodo, e quindi posso calcolarne il valore. ma una volta che ho questa sottosuccessione posso tranquillamente dire che allora la successione totale tende allo stesso limite?
grazie ancora mille volte per le ottime risposte finora, so che è fastidioso dover rispondere a mille domande ogni volta ma ho davvero voglia di capire fino in fondo tutte le sfumature del caso..
ora ho un altro dubbio però, che nella tua dimostrazione si presenta quando dici $\frac{ParteIntera[na]}{n} \to a$. In pratica io posso facilmente trovare una sottosuccessione (le potenze di 10) che ci tendono. questo mi basta a dire (perchè la succ. è di cauchy?) che allora l'intera successione tende a quel valore?
il problema si presenta sotto la stessa forma quando suppongo $a$ e $b$ razionali. ho $\frac{1}{n}\int_{na}^{nb}f$ e prendendo $a = p\q $ e $b = p_1\q_1$ posso trovare la sottosuccessione $n_k = q \times q_1 \times k$ che mi permette di avere tutti gli integrali su intervalli multipli di $1$, e quindi del periodo, e quindi posso calcolarne il valore. ma una volta che ho questa sottosuccessione posso tranquillamente dire che allora la successione totale tende allo stesso limite?
grazie ancora mille volte per le ottime risposte finora, so che è fastidioso dover rispondere a mille domande ogni volta ma ho davvero voglia di capire fino in fondo tutte le sfumature del caso..
Indico con $[x]$ la parte intera di un numero reale $x$.
Vogliamo far vedere che [tex][na] / n \to a[/tex] quando $n\to +\infty$ (e analogamente per $nb$).
Per definizione di parte intera, abbiamo che $na = [na] + \delta_n$, con $\delta_n \in [0,1]$. Di conseguenza
$\frac{[na]}{n} = \frac{na-\delta_n}{n} = a - \frac{\delta_n}{n} \to a$,
dal momento che $(\delta_n)$ è una successione limitata.
Riguardo l'uso di $a$ e $b$ razionali hai ragione; è quasi certamente più veloce stimare i resti.
Il resto è una cosa del tipo
$R_n = \frac{1}{n} (\int_{[nb]}^{nb} f - \int_{[na]}^{na} f)$.
Dal momento che stiamo assumendo che $f$ sia integrabile su $[0,1]$ e periodica, avremo che
$|R_n| \le \frac{1}{n} (\int_{[nb]}^{nb} |f| + \int_{[na]}^{na} |f|) \le \frac{2}{n} \int_0^1 |f|\to 0$ quando $n\to +\infty$.
Vogliamo far vedere che [tex][na] / n \to a[/tex] quando $n\to +\infty$ (e analogamente per $nb$).
Per definizione di parte intera, abbiamo che $na = [na] + \delta_n$, con $\delta_n \in [0,1]$. Di conseguenza
$\frac{[na]}{n} = \frac{na-\delta_n}{n} = a - \frac{\delta_n}{n} \to a$,
dal momento che $(\delta_n)$ è una successione limitata.
Riguardo l'uso di $a$ e $b$ razionali hai ragione; è quasi certamente più veloce stimare i resti.
Il resto è una cosa del tipo
$R_n = \frac{1}{n} (\int_{[nb]}^{nb} f - \int_{[na]}^{na} f)$.
Dal momento che stiamo assumendo che $f$ sia integrabile su $[0,1]$ e periodica, avremo che
$|R_n| \le \frac{1}{n} (\int_{[nb]}^{nb} |f| + \int_{[na]}^{na} |f|) \le \frac{2}{n} \int_0^1 |f|\to 0$ quando $n\to +\infty$.
ok, capito che stimare i resti era la cosa più veloce da fare!
grazie ancora una volta, alla prossima!
grazie ancora una volta, alla prossima!
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