Convergenza funzione con serie di Taylor
Buongiorno ragazzi e buon ferragosto 
Sapete dirmi un esempio di funzione con serie di Taylor convergente su un intervallo e di funzione con serie di Taylor convergente su tutti i reali?
Io ho pensato (anche se non ne sono sicuro):
- convergente su tutti i reali:
$ e^x=sum_(n=0)^inftye^c/n(x-c) $
$ R = infty $
- convergente su un intervallo:
funzioni definite a pezzi, come ad esempio
$ f(x)=sum_(n=0)^inftye^(-n)cos(n^2x) $
Converge nel punto $ x_0 = 0 $.
Ringrazio in anticipo
Sapete dirmi un esempio di funzione con serie di Taylor convergente su un intervallo e di funzione con serie di Taylor convergente su tutti i reali?Io ho pensato (anche se non ne sono sicuro):
- convergente su tutti i reali:
$ e^x=sum_(n=0)^inftye^c/n(x-c) $
$ R = infty $
- convergente su un intervallo:
funzioni definite a pezzi, come ad esempio
$ f(x)=sum_(n=0)^inftye^(-n)cos(n^2x) $
Converge nel punto $ x_0 = 0 $.
Ringrazio in anticipo
Risposte
L'esponenziale va bene. Soltanto che ti sei dimenticato la potenza a $(x-c)$ e il fattoriale a denominatore. Comunque puoi scrivere anche più semplicemente $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$.
Come esempio di funzione la cui serie di Taylor converge solo in un intervallo, puoi considerare $\frac{1}{1-x}$. Infatti, la serie geometrica converge per $x \in (-1,1)$.
Come esempio di funzione la cui serie di Taylor converge solo in un intervallo, puoi considerare $\frac{1}{1-x}$. Infatti, la serie geometrica converge per $x \in (-1,1)$.
Grazie mille per la risposta!! L'errore dell'esponenziale è stato un errrore di distrazione. I miei dubbi derivavano dal fatto che credevo che per funzione con serie di Taylor ci si riferisse ad un qualcosa di diverso rispetto alla serie di potenze.. Invece non è così, giusto? Ottimo esempio quello che mi hai postato sulla serie definita solo su un intervallo!
L'errore dell'esponenziale è stato un errrore di distrazione. I miei dubbi derivavano dal fatto che credevo che per funzione con serie di Taylor ci si riferisse ad un qualcosa di diverso rispetto alla serie di potenze.. Invece non è così, giusto? Ottimo esempio quello che mi hai postato sulla serie definita solo su un intervallo!
P.S. Mi puoi scrivere $1/(1-x)$ sotto forma di funzione con serie di Taylor? Scusa il disturbo..
P.P.S.: I miei dubbi di cui sopra derivavano anche dal fatto che un quesito mi chiedeva esempi di questo tipo con serie di potenze, e questo quesito mi chiede la stessa cosa ma si riferisce alle funzioni con serie di Taylor..
P.P.S.: I miei dubbi di cui sopra derivavano anche dal fatto che un quesito mi chiedeva esempi di questo tipo con serie di potenze, e questo quesito mi chiede la stessa cosa ma si riferisce alle funzioni con serie di Taylor..
Prego!
Le serie di Taylor sono serie di potenze. Inoltre, se una funzione è sviluppabile in serie di potenze, la sua serie è proprio quella di Taylor.
EDIT: come dicevo, lo sviluppo in serie di Taylor è proprio quello
Il punto è che la serie di Taylor di una serie di potenze è la serie stessa. Si dimostra che se $f(x)=\sum a_n(x-x_0)^n$ allora $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$.
Le serie di Taylor sono serie di potenze. Inoltre, se una funzione è sviluppabile in serie di potenze, la sua serie è proprio quella di Taylor.
EDIT: come dicevo, lo sviluppo in serie di Taylor è proprio quello
Il punto è che la serie di Taylor di una serie di potenze è la serie stessa. Si dimostra che se $f(x)=\sum a_n(x-x_0)^n$ allora $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$.
Va benissimo! Ti ringrazio per la dritta!!
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