Convergenza e/o convergenza assoluta della serie
stò cercando di fare questo esercizio ma non capisco come dovrei lavorarci sopra, sapreste darmi una mano?
Determinare l'insieme di tutti gli $x in R$ per cui la seguente serie è convergente e/o assolutamente convergente
$sum_(n = 1)^(+oo) e^n (x^2- |x-1|)^(n^2)$
Se qualcuno di voi mi aiutasse a capire come determinarne convergenza e/o assoluta convergenza glie ne sarei grato.
Principalmente più che svolgerla per intero mi interesserebbero e regole da applicare per poi poterla determinare da me e capirla bene, anzicchè "capirla a pappagallo".
Grazie.
Determinare l'insieme di tutti gli $x in R$ per cui la seguente serie è convergente e/o assolutamente convergente
$sum_(n = 1)^(+oo) e^n (x^2- |x-1|)^(n^2)$
Se qualcuno di voi mi aiutasse a capire come determinarne convergenza e/o assoluta convergenza glie ne sarei grato.
Principalmente più che svolgerla per intero mi interesserebbero e regole da applicare per poi poterla determinare da me e capirla bene, anzicchè "capirla a pappagallo".
Grazie.
Risposte
Innanzitutto trasforma la serie di funzione in una serie di potenze.
La serie di potenze è del tipo:
$sum a_n * w^n$
La serie di potenze è del tipo:
$sum a_n * w^n$
ok... da questo punto di vista ci sono, aiutandomi anche un po' con Wikipedia ci sono
p.s. tanto per esserne sicuri considero come an : $e^n$
e come $W$:$(x^2- |x-1|)^n$
dopo di chè uso la formula di D'alembert per ricavare R e proseguo...
non c'è una n di troppo in w?
p.s. tanto per esserne sicuri considero come an : $e^n$
e come $W$:$(x^2- |x-1|)^n$
dopo di chè uso la formula di D'alembert per ricavare R e proseguo...
non c'è una n di troppo in w?
"eMMeQuadro":
ok... da questo punto di vista ci sono, aiutandomi anche un po' con Wikipedia ci sono
p.s. tanto per esserne sicuri considero come an : $e^n$
e come $W$:$(x^2- |x-1|)^n$
dopo di chè uso la formula di D'alembert per ricavare R e proseguo...
non c'è una n di troppo in w?
Infatti non mi era mai capitato...non vorrei dirti castronerie che ti confonderebbero ancora di più, quindi aspetta un parere di un esperto
La puoi scrivere come $\sum_k a_k w^k$, dove $a_k = e^n$ se $k=n^2$, $n\in\mathbb{N}$, $a_k = 0$ viceversa. (Quindi $a_1 = e$, $a_2=a_3=0$, $a_4 = e^2$, $a_5=\ldots=a_8=0$, $a_9=e^3$, etc.)
Puoi poi calcolare
$"limsup"_k root(k)(a_k) = \lim_n root(n^2)(e^n) = 1$,
e concludere che il raggio di convergenza vale $1$ (il reciproco del limsup).
Puoi poi calcolare
$"limsup"_k root(k)(a_k) = \lim_n root(n^2)(e^n) = 1$,
e concludere che il raggio di convergenza vale $1$ (il reciproco del limsup).
quindi avremmo che per tutti gli $x in RR : x^2-|x-1|<1 rArr sum a^n w^k $è assolutamente convergente?
Sì (salvo errori).
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