Convergenza e somma di una serie
Salve, avendo la serie:
$ 1/pi^2 sum_(n = 0)^(+oo) x^2 e^((-nx)/pi) $
Mi si chiede di studiarne la convergenza e di calcolarne la somma. Come procedere? è possibile ricondurla ad una serie di funzioni?
io comunque, ho operato così: $ 1/pi^2 sum_(n = 0)^(+oo) x^2 e^((-nx)/pi) $ = $ x^2/pi^2 sum_(n = 0)^(+oo) e^((-nx)/pi) $ .
Ho notato che la serie è a termini positivi: quindi se non converge, diverge (ovvero è regolare).
quindi posso porre $y= e^((-x)/pi)$ e calcolare raggio di convergenza su $y$?
e per quanto riguarda la somma invece? possiamo notare che$ x^2/pi^2 sum_(n = 0)^(+oo) y^n$ converge solo per $|y|<1$ ed ha per somma $1/(1-y)$?
e un'altra cosa: come si calcola il raggio di convergenza su questa serie?
$ 1/pi^2 sum_(n = 0)^(+oo) x^2 e^((-nx)/pi) $
Mi si chiede di studiarne la convergenza e di calcolarne la somma. Come procedere? è possibile ricondurla ad una serie di funzioni?
io comunque, ho operato così: $ 1/pi^2 sum_(n = 0)^(+oo) x^2 e^((-nx)/pi) $ = $ x^2/pi^2 sum_(n = 0)^(+oo) e^((-nx)/pi) $ .
Ho notato che la serie è a termini positivi: quindi se non converge, diverge (ovvero è regolare).
quindi posso porre $y= e^((-x)/pi)$ e calcolare raggio di convergenza su $y$?
e per quanto riguarda la somma invece? possiamo notare che$ x^2/pi^2 sum_(n = 0)^(+oo) y^n$ converge solo per $|y|<1$ ed ha per somma $1/(1-y)$?
e un'altra cosa: come si calcola il raggio di convergenza su questa serie?
Risposte
Mi sembra corretta l'idea di ricondurre la tua serie ad una serie di potenze e di calcolarne il raggio di convergenza (è opportuno notare che converge anche per $x = 0$).
La somma, come dicevi tu, è $x^2/pi^2 * s(y(x)) = x^2/pi^2 * 1/(1 - y)$.
La somma, come dicevi tu, è $x^2/pi^2 * s(y(x)) = x^2/pi^2 * 1/(1 - y)$.
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