Convergenza e doppio integrale

[MARTINA90]

[math]\int_-infinity^0e^x dx[/math]

l'integrale va da meno infinito a zero il resto è scritto giusto.
Coome si fa a capire se converge?

seconda domanda
Calcolare il seguente integrale e rappresentare nel piano l’insieme di integrazione:

[math]\iint_{D};\frac{x+y}{x^2+y^2}^(3/2)[/math]

dxdy
è un doppio integrale dove sotto il simbolino di ntegrale, in centro ai due simbolini ci sta una D; l'elevazione a

[math](3/2)[/math]

è riferita solo alla parte sotto della frazione.

[math]{x^2+y^2}^(3/2}[/math]

dove

[math]D =(x,y)[/math]

appartenente ad R^2 : 1

[math]\leq[/math]

[math]x^2 + y^2 [/math]

[math]\leq[/math]

[math]4 [/math]

;

[math]x \geq 0 [/math]

,

[math]y \leq x [/math]

;
Spero che si capisca.
Aspetto una vostra risposta vi ringrazio.

Aggiunto 11 ore 41 minuti più tardi:

non ho capito gli ultimi due pasaggi del primo es.

[math]...(1-e^x)=1[/math]

. In pratica hai sostituito -infinito e 0, hai integrato alla x e ne hai fatto la differenza dopo di che hai calcolato il limite? giusto? mentre l'insieme di ntegrazione del piano sarebbe,che non ho bn capito?

il secondo es il testo è giustissimo, ma ci devo ragionare su un attimo.
grazie mille.

ok ho capito in pratica x semplificae le cose hai messo la a al posto del - infinito a questo punto a semplicemente risolto l'integrale e alla fine hai riportato il meno infinito al suo posto iniziale e hai detto che

[math]1-e^a [/math]

dove

[math]a=-infinito [/math]

fa

[math]1[/math]

se il limite per a che tende a infinito. giusto? anche se fino a risolvere l'integrale ho capito, ma non bn capito il risultato

[math]1[/math]

[ciampax]

Il primo sarebbe

[math]\int_{-\infty}^0 e^x\ dx[/math]

? Applica la definizione

[math]\int_{-\infty}^0 e^x\ dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^0 e^x\ dx=
\lim_{a\to -\infty}\left[e^x]_a^0=\lim_{a\to-\infty} (1-e^a)=1[/math]

visto che

[math]\lim_{a\to-\infty} e^a=0[/math]

.

Il secondo non ho capito bene: sarebbe questo?

[math]\int\int_D\frac{x+y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\ dx\ dy[/math]

[math]D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 1\leq x^2+y^2\leq 4,\ x\geq 0,\ y\leq x\}[/math]

Se è questo devi operare una trasformazione in coordinate polari, scrivendo

[math]x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta[/math]

Il dominio che devi considerare consiste nello spicchio di corona circolare con centro l'origine e raggi i 1 e 2 del primo quadrante delimitato dall'asse delle x e dalla bisettrice del I quadrante stesso: ne seguono le seguenti limitazioni:

[math]1\leq\rho\leq 2,\ 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}[/math]

e l'integrale diventa

[math]\int_1^2\int_0^{\pi/4}\frac{\rho\cos\theta+\rho\sin\theta}{\rho^3}\cdot\rho\ d\rho\ d\theta=\int_1^2\frac{1}{\rho}\ d\rho\cdot\int_0^{\pi/4}[\cos\theta+\sin\theta]\ d\theta=\\
\left[\log\rho\right]_1^2\cdot\left[\sin\theta-\cos\theta\right]_0^{\pi/4}=\left(\log 2-\log 1\right)\cdot\left(\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}-\sin 0+\cos 0\right)=\log 2[/math]

Aggiunto 5 ore 52 minuti più tardi:

Detto meglio: ho usato al definizione di integrale improprio sostituendo a con infinito, ho integrato l'esponenziale ed ho usato il teorema fondamentale del calcolo per sostituire gli estremi di integrazione, infine ho calcolato il limite.