Convergenza e divergenza serie con fattoriale

[Andrew Ryan]

Mi trovo alle prese con questa serie e devo dire se converge o diverge:

$ sum_(n = 1)^(oo) (n^2 + 3 )/(n!) $

utilizzando il criterio del rapporto (D'Alembert) ottengo:

$ lim_(x->oo) ((n^2 + 1) + 3 )/((n+1)!) * (n!)/(n^2 + 3 ) $

è corretto?

successivamente,quando devo semplificare la funzione mi trovo in difficoltà con il fattoriale,come posso eliminarlo? c'è qualche regola che lo permette? magari un diverso modo di scriverlo che faciliti poi l'eliminazione

[Covenant]

Per definizione di fattoriale sai che: $n! = 1*2*3*4*...*n$ e quindi: $(n+1)! = 1*2*3*4*...*n*(n+1) = n!*(n+1)$.

A questo punto dovresti vederla facilmente la semplificazione .

[Andrew Ryan]

ok,questo è chiaro,però eliminando solo n! otterrei comunque una forma indeterminata svolgendo il limite

[poncelet]

Hai sbagliato il criterio del rapporto. Quello giusto è:
\[
\lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^{2}+3}{(n+1)!}\frac{n!}{n^{2}+3}
\]

Semplificando ti esce
\[
\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}+2n+4}{n+1}\frac{1}{n^{2}+3}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}+2n+4}{n^2+3}\frac{1}{n+1}
\]

Così riesci a concludere?

[Andrew Ryan]

"maxsiviero":Hai sbagliato il criterio del rapporto. Quello giusto è:
\[
\lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^{2}+3}{(n+1)!}\frac{n!}{n^{2}+3}
\]

Semplificando ti esce
\[
\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}+2n+4}{n+1}\frac{1}{n^{2}+3}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}+2n+4}{n^2+3}\frac{1}{n+1}
\]

Così riesci a concludere?

semplificando ho continuato in questo modo:



$ lim_(x->infty) (n+1)^2/((n+1)(n^2 + 3)) + 3/((n+1)(n^2 + 3)) = lim_(x->infty) (n+1)/(n^2 + 3) + 3/((n+1)(n^2 + 3)) = $

$ lim_(x->infty) (n(1 + 1/n))/(n(n+ 3/n)) + 3/((n+1)(n^2 + 3)) = 0 $

dunque per il criterio del rapporto la serie converge

ho proceduto correttamente?

[Andrew Ryan]

Nessuno sa dirmi se è corretto?

[poncelet]

A me sembra corretto.