Convergenza e divergenza di integrali
dato l'integrale improprio
$int_(2)^(+oo)(sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7) dx $ per dimostrare che converge ho ragionato così:
essendo $lim_(x -> +oo) sin(x^2/(x^3+1))~1/x$
ed essendo per lo stesso motivo
$(lnx)^7~x$
arrivo a
$int_(2)^(+oo)(sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7) dx ~1/x^2$ per cui l'integrale di partenza converge.
Nel caso invece dell'integrale
$int_(1)^(+oo)(sinx/x) dx $ come faccio a dimostrare che converge.
$int_(2)^(+oo)(sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7) dx $ per dimostrare che converge ho ragionato così:
essendo $lim_(x -> +oo) sin(x^2/(x^3+1))~1/x$
ed essendo per lo stesso motivo
$(lnx)^7~x$
arrivo a
$int_(2)^(+oo)(sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7) dx ~1/x^2$ per cui l'integrale di partenza converge.
Nel caso invece dell'integrale
$int_(1)^(+oo)(sinx/x) dx $ come faccio a dimostrare che converge.
Risposte
"marcus112":
ed essendo per lo stesso motivo
$(lnx)^7~x$
.
eh?.. per $x\to +\infty$ ?...
ti ricordo la definizione di asintotico $f(x)$ \(\sim\) $ g(x)hArr \lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))=1 $
secondo te.. $\ln (x)$ \(\sim \) $x$ per $x\to +\infty$ ?..è vero o falso?.. risponditi da solo..
"marcus112":
dato l'integrale improprio
$int_(2)^(+oo)(sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7) dx $ per dimostrare che converge ho ragionato così:
essendo $lim_(x -> +oo) sin(x^2/(x^3+1))~1/x$
ed essendo per lo stesso motivo
$(lnx)^7~x$
arrivo a
$int_(2)^(+oo)(sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7) dx ~1/x^2$ per cui l'integrale di partenza converge.
L'integrale converge, ma non per il motivo indicato (che è sbagliato, come ha notato 21zuclo).
"marcus112":
Nel caso invece dell'integrale
$int_(1)^(+oo)(sinx/x) dx $ come faccio a dimostrare che converge.
Questo integrale converge solo semplicemente, ma non assolutamente.
La dimostrazione della convergenza si basa sulla seguente relazione (che si ottiene integrando per parti):
\[
\int_1^R \frac{\sin x}{x}\ \text{d} x = -\frac{\cos x}{x}\Big|_1^R - \int_1^R \frac{\cos x}{x^2}\ \text{d} x\; \ldots
\]
Fanne buon uso.
Il fatto che l'integrale non converga assolutamente è classico: ad esempio, lo si è dimostrato in più salse qui.
Il procedimento giusto per il primo integrale dovrebbe essere questo:
$int_(2)^(+oo)sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7 dx $:
essendo $lim_(x -> +oo) sin(x^2/(x^3+1))~1/x$
infatti
$lim_(x -> +oo) sin(x^2/(x^3+1))/(1/x)=1$
arrivo a dire che
$sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7 ~(1/x)/(lnx)^7 =1/(x(lnx)^7)$
Ed essendo poi
$int_(2)^(+oo)1/x(lnx)^7 dx $ convergente, questo conferma che lo è anche l'integrale di partenza.
$int_(2)^(+oo)sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7 dx $:
essendo $lim_(x -> +oo) sin(x^2/(x^3+1))~1/x$
infatti
$lim_(x -> +oo) sin(x^2/(x^3+1))/(1/x)=1$
arrivo a dire che
$sin(x^2/(x^3+1))/(lnx)^7 ~(1/x)/(lnx)^7 =1/(x(lnx)^7)$
Ed essendo poi
$int_(2)^(+oo)1/x(lnx)^7 dx $ convergente, questo conferma che lo è anche l'integrale di partenza.
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