Convergenza dominata, dubbio su un cambio di variabile.

[fu^2]

sia $f_n(x,y)=(n^2x+y^2)/(n^2x^4+n^2xy+y^2)$. Studiare $lim_{nto+oo}int_{E_n}f_n(x,y)dxdy$ dove $E_n={0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L'esercizio è semplice, però il mio dubbio nasce da un cambio di variabile, il quale mi cambia anche il risultato. Sicuramente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...

Per prima cosa possiamo considerare $f_n$ come $f_nchi_n$. Quello che dobbiamo studiare sarà quindi $lim_{nto+oo}int_{RR^2}f_n(x,y)chi_{E_n}(x,y)dxdy

ordunque $chi_{E_n}->chi_E$ con $E={0x/(x^4+xy)=1/(x^3+y)$ q.o.

Se supponiamo un attimo che valgano le Hp della convergenza dominata otterremmo che $lim_{nto+oo}int_{RR^2}f_n(x,y)chi_{E_n}(x,y)dxdy=

(metto i calcoli tra spoiler almeno la lettura è più agevole se uno vuole saltarli)
$int_{RR^2}1/(x^3+y)chi_Edxdy=int_0^{+oo}dxint_0^x1/(x^3+y)dy=int_0^{+oo}[log(x^3+y)]_0^xdx=int_0^{+oo}log(1+1/x^2)dx$. Posto $t=1/x^2$ otteniamo $int_0^{+oo}1/2t^{-3/2}log(1+t)dt$. In particolare $1/2t^{-3/2}log(1+t)>0$ in $(0,+oo)$ dove è anche integrabile, in particolare avremo che

$=int_0^{+oo}1/2t^{-3/2}log(1+t)dt=pi


Se però facciamo il simpatico cambio di variabile $g(s,t)={(x=ns),(y=nst):}$ avremo che $|detJ_g|=|det((n,0),(nt,ns))|=n^2s$. Inoltre $g(E_n)={0
Quindi $f_n(x,y)chi_{E_n}(x,y)=f_n(g(s,t))|det(J_g)|chi_{g(E_n)}=f(g(s,t))n^2s\chi_{[0,1]x[0,1]}$. Bellissimo, l'insieme durante la successione non mi cambia

Andando avanti coi calcoli $f_n(g(s,t))|detJ_g|=(n^3s+n^2s^2t^2)/(n^6s^4+n^4s^2t+n^2s^2t^2)n^2s=(n^3+n^2st^2)/(n^4s^2+n^2t+t^2)$.

Facendo il limite avremo che $f_n(g(s,t))|detJ_g|->0$ q.o. in $[0,1]^2$.

I calcoli per vedere, con questo cambio di variabile, che le Hp della convergenza dominata son soddisfatte. Se sono soddisfatte per la successione dove è stato adoperato il cambio di variabile, per il teorema del cambio di variabile appunto, avremo che anche la successione originaria rispetta le hp di Lebesgue.

La successione $(n^3+n^2st^2)/(n^4s^2+n^2t+t^2)$ è monotona decrescente a termini positivi. Quindi $(n^3+n^2st^2)/(n^4s^2+n^2t+t^2)<(1+st^2)/(s^2+t+t^2)<(1+st)/(s^2+t)$ per q.o. $s,t\in[0,1]$.

In particolare $int_0^1ds int_0^1(1+st)/(s^2+t)dt=int_0^1ds[int_0^1 1/(s^2+t)dt+s\int_0^1 t/(s^2+t)dt]=int_0^1[log(s^2+t) |_0^1+s-s^3log(s^2+t)|_0^1]ds$ che risulta essere finito. Quindi le ipotesi di Lebesgue sono soddisfatte, quindi

$int_0^1int_0^1f(g(s,t))n^2sdsdt->int_0^1int_0^1 0dsdt=0$!!
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Se faccio un cambio di variabile mi cambia il risultato??? Non riesco a ritrovarmi nell'errore, sicuramente banale, che ho commesso... sarà il caldo?

grazie dell'attenzione.

[fu^2]

l'errore l'ho trovato non era monotona la successione.

Questo esercizio mi ha messo in luce una cosa interessante, cambiando le variabili si ha gratis (ovviamente) che la successioen trasformata rimane integrabile, ma nessuno ti dice che esista gratis la maggiorazione con Lebesgue (che a ripensarci è anche plausibile, chissà perchè tt il pomeriggio mi suonava male questo fatto... mah....).