Convergenza dominata

[gygabyte017]

Ciao a tutti, ho un dubbio: per scambiare $lim_(s->s_0) int f(x;s)dx$ e applicare la convergenza dominata bisogna per forza trovare una $phi(x)>=f(x;s)$ con $int phi(x)dx < +oo$, oppure basta verificare che $AA s_0, int f(x;s_0)dx < +oo$ ??

Ad esempio, se ho $int_0^(+oo) f(x;s)$ dove il problema è solo in $+oo$, se trovo una $g(x;s)$ tale che $lim_(x->+oo)f(x;s)/g(x;s)=1$ e $int_0^(+oo)g(x;s) <+oo$, posso scambiare $lim int f = int lim f$ ?

Grazie

[dissonance]

Devi per forza trovare una funzione sommabile dominante come la tua $phi$ (attenzione: deve essere $|f(x, s)|<=phi(x)$, non ti scordare il valore assoluto).

[gygabyte017]

Grazie! Allora però sono in difficoltà col farlo su questa funzione:

$int_0^(+oo) ln(1+s^2x^2)/(1+x^2)dx$, $s in RR$

non riesco proprio a trovare la dominante...

[dissonance]

E' perché la prima scelta che viene in mente, $C\frac{x^2}{1+x^2}$, non è sommabile e non va bene. Ci vorrebbe qualcosa di tipo $C\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}$ ($C$ indica una costante positiva). Questa è sommabile: allora prova a studiare la funzione

$\frac{(log(1+s^2x^2))/(1+x^2)}{\sqrt{x}/(1+x^2)}$;

perché, se è limitata (come credo), allora hai risolto:

$|\frac{(log(1+s^2x^2))/(1+x^2)}{\sqrt{x}/(1+x^2)}|<=C$ quindi, moltiplicando per $\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}$, ottieni la disuguaglianza cercata.

[gygabyte017]

Penso proprio tu abbia ragione! Ora provo, grazie!