Convergenza / Divergenza integrali
Buongiorno a tutti.
Sto studiando l'integrale \[ \int_0^1 \frac{x-1}{log(1-x)}\ \text{d} x \]
Il campo di esistenza della funzione integranda è $(-\infty,0),(0,1)$
Quindi i miei punti da controllare sono l'intorno $0^+$ e controllare anche il punto $1^-$.
Per quanto riguarda il:
$lim_(x->0^+) f(x) = +\infty $
Ho ragionato dicendo che il logaritmo ha ordine minore di qualunque altra funzione e quindi per la definizione di infinito se:
$lim_(x->0) \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty $ se $f(x)$ ha ordine superiore rispetto a $g(x)$
Nella soluzione degli esercizi invece fa notare che il limite del rapporto tende all'infinito con ordine 1 e quindi per il teorema del confronto asintotico in un intorno $ x=0^+ $ la funzione integranda non è integrabile in senso improprio => diverge.
La mia domanda è come faccio a capire che tende ad infinito con ordine 1?
Mentre per tutte le funzioni elementari riesco a calcolare l'ordine, in presenza del $log(x)$ oppure dell'esponenzionale $e^x$ non riesco a capire come usare il teorema del confronto asintotico per appunto, confrontare la mia funzione con l'infnito campione $x^\alpha$ e trovare quindi l'ordine con cui va all'infinito.
Grazie per l'aiuto e buona pasqua a tutti
Sto studiando l'integrale \[ \int_0^1 \frac{x-1}{log(1-x)}\ \text{d} x \]
Il campo di esistenza della funzione integranda è $(-\infty,0),(0,1)$
Quindi i miei punti da controllare sono l'intorno $0^+$ e controllare anche il punto $1^-$.
Per quanto riguarda il:
$lim_(x->0^+) f(x) = +\infty $
Ho ragionato dicendo che il logaritmo ha ordine minore di qualunque altra funzione e quindi per la definizione di infinito se:
$lim_(x->0) \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty $ se $f(x)$ ha ordine superiore rispetto a $g(x)$
Nella soluzione degli esercizi invece fa notare che il limite del rapporto tende all'infinito con ordine 1 e quindi per il teorema del confronto asintotico in un intorno $ x=0^+ $ la funzione integranda non è integrabile in senso improprio => diverge.
La mia domanda è come faccio a capire che tende ad infinito con ordine 1?
Mentre per tutte le funzioni elementari riesco a calcolare l'ordine, in presenza del $log(x)$ oppure dell'esponenzionale $e^x$ non riesco a capire come usare il teorema del confronto asintotico per appunto, confrontare la mia funzione con l'infnito campione $x^\alpha$ e trovare quindi l'ordine con cui va all'infinito.
Grazie per l'aiuto e buona pasqua a tutti
Risposte
La ragione è che $lim_(x->0)(log(1+x))/(x)=1$
Parafrasando ciò che ha già detto Quinzio puoi anche osservare che per $x->0^+$, $log(1-x)∼ -x$ quindi la tua integranda si comporta come $1/x$ quindi per il confronto asintotico diverge 
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