Convergenza distribuzionale di serie e sue derivate

[bradipo90]

Ciao! spero qualcuno possa aiutarmia verificare la correttezza.
Sia definita per $k>1 k in NN$ la successione $X_k= { ( 1 1/(2k+1) La serie $ sum_(k = 1)^(+ infty) X_k(x) $
converge uniformemente, puntualmente, in $L^1(0,1]$, $L^p(0,1]$, in S^1 (nel senso delle distribuzioni intende), e le derivate convergono in $S^1$?
Allora poichè la funzione limite a cui converge la successione di funzioni per $n->+infty$ è discontinua la convergenza non è uniforme.
Parliamo della convergenza in $L^p(0,1]$:
$ lim_n int_(0)^(1)|sum_(k = 1)^(+ infty)X_k(x) - sum_(k = 1)^(n)X_k(x)|^p dx =$
grazie al fatto che l'intervallo è limitato e le $X_k$ sono uniformemente limitate, posso fare il passaggio del limite
$=int_(0)^(1) lim_n |sum_(k = 1)^(+ infty)X_k(x) - sum_(k = 1)^(n)X_k(x)|^p dx =0 $
La serie converge in $L^p(0,1]$, compreso $L^infty$.
Sulla convergenza delle distribuzioni non so se sto sbagliando, se le somme parziali $ sum_(k = 1)^(n ) $ sono una successione numerica convergente, quindi poichè
per $k->+infty$ $ = int_(1/(2k+1))^(1/(2k)) h(t) dt $ con $h in C_c^infty$
tendono a zero quindi converge nel senso delle distribuzioni.
E per le derivate qualcuno può darmi qualche ragguaglio?

[bradipo90]

Se non sbaglio serie delle derivate si traduce così :
$ sum_(k =1)^(n)<(X_k)^{\prime},h> = -sum_(k =1)^(n) $
e per cui converge allo stesso modo, per qualsiasi $h in C_c^infty$.

[bradipo90]

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[Rigel1]

Volendo puoi anche scrivere $\sum_{k=1}^n X_k' = \sum_{k=1}^n[\delta_{1/(2k)} - \delta_{1/(2k+1)}]$.
Vedi subito che, per ogni $h\in C^{\infty}_c$ si ha che
$\sum_{k=1}^n \to \sum_{k=1}^{\infty} $.