Convergenza di una successione di unzioni

[tranesend]

La successione è
$f_n(x)=n(x-1)x^(-n)$ in $RR$
e devo studiare convergenza puntuale e uniforme. Il punto è che non so se prendo la strada giusta o meno perchè mi si distinguono troppi casi.

Per la convergenza puntuale ho che:
$lim_(n->infty) {f_n(x)}=0$ se $|x|>1$
Altrimenti vale $infty$. Dunque l'insieme di convergenza puntuale $E=(-infty, -1)U[+1,infty)$.
Ora devo studiarmi la convergenza uniforme e cominciano i problemi.
La derivata della funzione è $f'_n(x)=x^(-n-1)*(nx+n^2-n^2(x)).$
Ora il secondo membro cioè $(nx+n^2-n^2(x))>0$ per $x<(n/1-n))$.
Ora per il primo membro non so come studiarmelo. Cioè devo fare i casi in cui n è pari e dispari? Perchè ci ho provato e effettivamente mi viene che il sup è proprio $f_n(n/(1-n))=((2n-1)/(1-n))*n*(n/(1-n))^(-n) -> -1/e$ dunque non converge uniformemente in tutto E. Però non so se è giusto questo ragionamento. Potete darmi una mano? E' giusto dire che in ogni compatto $[a,+infty)$ con $a>0$ (1/(1-n) è negativo infatti) la successione essendo monotona decrescente converge anche uniformemente?
Perchè effettivamente verrebbe
$SUP f_n(x) = n(a-1)a^(-n) -> 0$

[yuri.isacchi]

Ciao! Non mi sono soffermato a leggere quello che hai scritto, però la successione converge su ogni insieme del tipo $(-\infty,1-\delta]\cup [1+\delta,+\infty)$ con $\delta>0$, infatti se $|x|\geq 1+\delta$
$
|\frac{n(x-1)}{x^n}|=|\frac{n}{x^{n-1}}-\frac{n}{x^n}|\leq \frac{n}{|x|^{n-1}}+\frac{n}{|x|^n}
\leq \frac{n}{(1+\delta)^{n-1}}+\frac{n}{(1+\delta)^n}\leq \frac{n}{(1+\delta)^{n-1}}+\frac{n}{(1+\delta)^{n-1}}
=\frac{2n}{(1+\delta)^{n-1}} \to 0
$

[gugo82]

[ot]"Successione di unzioni"???
Meno male che non sono estreme... [/ot]

[poncelet]

"gugo82":[ot]"Successione di unzioni"???
Meno male che non sono estreme... [/ot]

[ot] [/ot]