Convergenza di una successione di funzioni in L infinito
Ciao a tutti, sto studiando un po' a fatica gli spazi Lp e i relativi risultati di convergenza; se apro un topic è perchè non ne ho trovati di simili in tempo utile e perchè l'argomento vorrei capirlo bene.
Ho la seguente successione di funzioni:
$f_k(x)=k^2x^2e^(-kx)$ in $(0;+oo)$ per $k>=1$
e devo semplicemente dimostrare che converge a $f(x)=0$ in $L^1(0,+oo)$ , ma non in $L^oo(0,+oo)$
Per la prima parte credo di aver capito che basta usare il teorema di convergenza dominata, sapendo che la successione converge puntualmente e trovando la maggiorante appartenente a $L^1$; però non capisco perchè non vale per $+oo$ ...
Leggendo la teoria dovrebbe capitare che $lim_(k->+oo) \text{ess sup} |f_k(x) - f(x) | = 0$ ... però non riesco a valutare questo fatto.
Mi sapete aiutare?
Ho la seguente successione di funzioni:
$f_k(x)=k^2x^2e^(-kx)$ in $(0;+oo)$ per $k>=1$
e devo semplicemente dimostrare che converge a $f(x)=0$ in $L^1(0,+oo)$ , ma non in $L^oo(0,+oo)$
Per la prima parte credo di aver capito che basta usare il teorema di convergenza dominata, sapendo che la successione converge puntualmente e trovando la maggiorante appartenente a $L^1$; però non capisco perchè non vale per $+oo$ ...
Leggendo la teoria dovrebbe capitare che $lim_(k->+oo) \text{ess sup} |f_k(x) - f(x) | = 0$ ... però non riesco a valutare questo fatto.
Mi sapete aiutare?
Risposte
Per valutarlo ti basta studiare la funzione \( f_k\) per scoprire che ha un massimo in \( x= 2/k\) dove vale \( 4 e^{-1/2}\); di conseguenza \( \lim_k \text{ess sup}...\) non tende a \(0\).
Cavolo c'ero quasi arrivato; riguardando è abbastanza una stupidata. Grazie mille. 
Se posso abusare della tua pazienza, ti chiedo anche questo:
ho sempre la mia successione
$f_k(x)= (sqrt(k))/(1+(kx)^2)$ con $x in RR$
Devo dimostrare che essa converge in $L^1$ ma non in $L^2$...
Ecco riesco a dimostrare la convergenza in L1, ma dai miei conti risulta anche in L2 in quanto alla fine arrivo a risultati simili.
In pratica uso come maggiorante la $f_1$ che mi pare appartenga sia a L1 che a L2, però a quanto pare sbaglio...
Se posso abusare della tua pazienza, ti chiedo anche questo:
ho sempre la mia successione
$f_k(x)= (sqrt(k))/(1+(kx)^2)$ con $x in RR$
Devo dimostrare che essa converge in $L^1$ ma non in $L^2$...
Ecco riesco a dimostrare la convergenza in L1, ma dai miei conti risulta anche in L2 in quanto alla fine arrivo a risultati simili.
In pratica uso come maggiorante la $f_1$ che mi pare appartenga sia a L1 che a L2, però a quanto pare sbaglio...
\( f_1\) non maggiora le \(f_k\).
In questo caso, una volta mostrato che il limite puntuale (q.o.) è la funzione nulla, devi solo far vedere che
\[ \int_{\mathbb{R}} f_k \to 0, \qquad \int_{\mathbb{R}} f_k^2 \not\to 0.\]
In questo caso, una volta mostrato che il limite puntuale (q.o.) è la funzione nulla, devi solo far vedere che
\[ \int_{\mathbb{R}} f_k \to 0, \qquad \int_{\mathbb{R}} f_k^2 \not\to 0.\]
Ok ci sono arrivato. Basta fare una sostituzione ad esempio di kx con y per ottenere integrando un arctg su k, che all'infinito va a zero. Se invece elevo al quadrato con lo stesso procedimento, sparisce la k per cui ottengo un valore finito diverso da zero. Credo sia corretto.
Grazie mille.
Grazie mille.
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