Convergenza di una successione di funzioni
Definire la convergenza puntuale [tex]L^1[/tex] e [tex]L^2[/tex] di una successione di funzioni e le connessioni tra tali nozioni di convergenza.
Risposte
Questa domanda non ha senso; una cosa è la convergenza puntuale, un'altra la convergenza $L^1$ e un'altra ancora la convergenza $L^2$. Forse vuoi dire: le nozioni di convergenza puntuale, convergenza $L^1$, convergenza $L^2$?
Direi che per definire la convergena puntuale, $L_1$, $L_2$ ti basta studiare....
Per quanto riguarda la relazione fra esse posso dirti che tra la convergenza puntuale e le converegenze $L_1$ o $L_2$ non c'è relazione ( a meno di introdure altre ipotesi di convergenza ad esempio delle norme).
Invece per quanto riguarda la relaione fra la convergenza $L_1$ ed $L_2$ dipende da che insieme consideri.
Se consideri $L_1(A)$ e $L_2(A)$ dove $A$ ha misura finita, allora la convergenza $L_(2)$ implica la convergenza $L_(1)$.
Altrimenti ciò non vale e le 2 non sono legate
Per quanto riguarda la relazione fra esse posso dirti che tra la convergenza puntuale e le converegenze $L_1$ o $L_2$ non c'è relazione ( a meno di introdure altre ipotesi di convergenza ad esempio delle norme).
Invece per quanto riguarda la relaione fra la convergenza $L_1$ ed $L_2$ dipende da che insieme consideri.
Se consideri $L_1(A)$ e $L_2(A)$ dove $A$ ha misura finita, allora la convergenza $L_(2)$ implica la convergenza $L_(1)$.
Altrimenti ciò non vale e le 2 non sono legate
Beh però un legame tra la convergenza $L^p$ e quella puntuale c'è. Infatti se una successione di funzioni $f_n$ converge nel senso di $L^p$ ad una funzione $f$, allora c'è una sottosuccessione di $f_n$ che converge puntualmente (q.o.) ad $f$. La dimostrazione di questo fatto è inclusa nella dimostrazione del teorema di Riesz-Fischer di completezza degli spazi $L^p$ (o almeno nella dimostrazione che si trova su alcuni libri come ad esempio sul Brezis), quindi non la sto a rifare qui; eventualmente consiglio un'occhiata alle dispense di Gilardi.
Questo fatto è più importante di quanto sembri e inoltre non è ovvio: esistono nozioni di convergenza che con la convergenza puntuale non c'entrano assolutamente nulla, ad esempio la successione $sin nx$ converge $L^2$ debolmente a $0$, ma dal punto di vista puntuale ha un comportamento caotico q.o. .
Questo fatto è più importante di quanto sembri e inoltre non è ovvio: esistono nozioni di convergenza che con la convergenza puntuale non c'entrano assolutamente nulla, ad esempio la successione $sin nx$ converge $L^2$ debolmente a $0$, ma dal punto di vista puntuale ha un comportamento caotico q.o. .
"jOoK3r":
Definire la convergenza puntuale [tex]L^1[/tex] e [tex]L^2[/tex] di una successione di funzioni e le connessioni tra tali nozioni di convergenza.
Come misanino. Aggiungo che dovresti studiare anche un po' di sintassi (se noti, misanino usa le virgole, perché devono essere usate).
[mod="Fioravante Patrone"]Ti invito a evitare post di questo tipo. E' un esercizio che proponi agli utenti di questo forum, o è un esercizio che hanno dato da fare a te e cerchi aiuto?[/mod]
"dissonance":
Beh però un legame tra la convergenza $L^p$ e quella puntuale c'è. Infatti se una successione di funzioni $f_n$ converge nel senso di $L^p$ ad una funzione $f$, allora c'è una sottosuccessione di $f_n$ che converge puntualmente (q.o.) ad $f$. .
Sì certo, hai ragione!
Io intendevo che non c'era legame se non si passa a sottosuccessioni, ma si tiene la successione originaria.
Hai fatto benissimo a puntualizzare perchè in effetti è un fatto molto importante
Comunque ora penso sia tutto più chiaro per jOok3r.
Ciao
Ciao e grazie a tutti per le risposte.
Dunque vediamo....da dove inizio?!?!
Come misanino. Aggiungo che dovresti studiare anche un po' di sintassi (se noti, misanino usa le virgole, perché devono essere usate).
[/quote]
Mi spiace se la sintassi non è di tuo gradimento...colpa mia...effettivamente ho copiato male la domanda. La domanda giusta sarebbe:
Definire la convergenza puntuale, [tex]L^1[/tex], [tex]L^2[/tex] di una successione di funzioni e le connessioni tra tali nozioni di convergenza.
Comunque è un esercizio di esame, volevo vedere le vostre opinioni per confrontarle con le mie.
Ma scusate una cosa. Dato uno spazio di misura con una sigma algebra.
Se una successione converge $ L^1 $ non converge anche puntualmente?
Dunque vediamo....da dove inizio?!?!
"Fioravante Patrone":
[quote="jOoK3r"]Definire la convergenza puntuale [tex]L^1[/tex] e [tex]L^2[/tex] di una successione di funzioni e le connessioni tra tali nozioni di convergenza.
Come misanino. Aggiungo che dovresti studiare anche un po' di sintassi (se noti, misanino usa le virgole, perché devono essere usate).
[/quote]
Mi spiace se la sintassi non è di tuo gradimento...colpa mia...effettivamente ho copiato male la domanda. La domanda giusta sarebbe:
Definire la convergenza puntuale, [tex]L^1[/tex], [tex]L^2[/tex] di una successione di funzioni e le connessioni tra tali nozioni di convergenza.
Comunque è un esercizio di esame, volevo vedere le vostre opinioni per confrontarle con le mie.
Ma scusate una cosa. Dato uno spazio di misura con una sigma algebra.
Se una successione converge $ L^1 $ non converge anche puntualmente?
"jOoK3r":
Dato uno spazio di misura con una sigma algebra, se una successione converge $ L^1 $ non converge anche puntualmente?
No, in generale.
Vedi qui.
Come segnalava dissonance, se [tex]$f_n \stackrel{L^1}{\to} f$[/tex] bisogna passare ad una estratta per ottenere convergenza puntuale q.o.; ma arrivare ad una convergenza puntuale "pura" (cioè ovunque) è comunque difficilissimo.
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