Convergenza di una successione di funzioni

[Valchiria1]

Ho la successione:

$f_n= { ( 1 if xn+2sqrtn ):} $

Devo determinare la convergenza puntuale e uniforme in $R$ e calcolare $ lim_(n -> +infty) int_(-infty)^(+infty) |f_n(x)-f(x)| dx $

Non riesco proprio ad impostarlo, avevo pensato che il limite puntuale potesse essere 1 perchè definitivamente la successione vale sempre 1, ma non so dimostrarlo rigorosamente dato che potrei dire che a partire da $x
idee?

[dan952]

Per ogni $x \in [n, n+2\sqrt{n}]$ si ha che:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{x+\sqrt{n}}{x}=1$

Infatti $\frac{n+3\sqrt{n}}{n+2\sqrt{n}} \leq \frac{x+\sqrt{n}}{x} \leq \frac{n+\sqrt{n}}{n}$ con $x \in [n,n+\sqrt{n}]$

[Valchiria1]

Ma io devo considerare anche $xn+2sqrtn$, qual è il limite puntuale $f(x)$ ? Non ho capito cosa hai concluso con

"dan95": $ \frac{n+3\sqrt{n}}{n+2\sqrt{n}} \leq \frac{x+\sqrt{n}}{x} \leq \frac{n+\sqrt{n}}{n} $ con $ x \in [n,n+\sqrt{n}] $

[dan952]

L'unico problema come hai detto sta nell'intervallo $[n,n+2\sqrt{n}]$, perché negli intervalli $(-\infty,n)$ e $(n+2\sqrt{n},+\infty)$ è costante e vale 1 per ogni $x$ e ogni $n$. Ora, per ogni $x \in [n,n+2\sqrt{n}]$ risulta che

$\frac{n+3\sqrt{n}}{n+2\sqrt{n}} \leq \frac{x+\sqrt{n}}{x} \leq \frac{n+\sqrt{n}}{n}$

Passando al limite (teorema dei carabinieri) otteniamo che per ogni $x$ in $[n,n+2\sqrt{n}]$

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{x+n}{x}=1$

Quindi anche qui il limite vale 1 e concludiamo che il limite puntuale è $f(x)=1$.

[Valchiria1]

Ok, quindi l'dea è che per $ x \in [n,n+2\sqrt{n}] $ a partire da un certo n in poi anche qui $f_n=1$, il problema è che non ho capito la maggiorazione usata, da dove escono: $ \frac{n+3\sqrt{n}}{n+2\sqrt{n}} \leq \frac{x+\sqrt{n}}{x} \leq \frac{n+\sqrt{n}}{n} $ ?
Cioè l'idea è che in $[n,n+2\sqrt{n}]$, x al massimo è $n+2\sqrt{n}$, posso considerare sicuramente che

$n<=n+\sqrt{n}$ cioè $1<=(n+\sqrt{n})/n$ perciò:

$1<=(n+\sqrt{n})/n<=(x+sqrtn)/x<=(n+3sqrtn)/x<=(n+3sqrtn)/n->1$ se $n->infty$

è giusto?

edit: mi correggo, la maggiorazione dovrebbe essere così:

$1<=(sqrtn+x)/x<=(3sqrtn+n)/n->1$ se $n->infty$ ?

[dan952]

Sì va bene anche come dici tu. La mia disuguaglianza veniva fuori riscrivendo

$\frac{x+\sqrt{n}}{x}=1+\frac{\sqrt{n}}{x}$

e quindi

$1+\frac{\sqrt{n}}{n+2\sqrt{n}} \leq 1+\frac{\sqrt{n}}{x}\leq 1+\frac{\sqrt{n}}{n}$

Attenzione: non è che da un certo $n$ in poi è uguale a 1 ma per $n \rightarrow +\infty$ vale 1

[Valchiria1]

Ok grazie, per quanto riguarda la convergenza uniforme è giusto dire che:

$ lim_(n -> infty) Sup{|f_n(x)-f(x)|:: x inR}=0 $

per $ (-\infty,n) $e $ (n+2\sqrt{n},+\infty) $ è immediato perchè ho $1-1$, in $ x \in [n,n+2\sqrt{n}] $ ho fatto:

$0<=|(sqrtn+x)/x-1|=|sqrtn/x|<=|sqrtn/n|=1/sqrtn->0$ se $n->infty$ per ogni $ x \in [n,n+2\sqrt{n}] $

perciò la convergenza è uniforme in R?

L'integrale l'ho impostato così $ lim_(n-> +infty) int_(-infty)^(+infty) |f_n(x)-f(x)| dx = lim_(n-> +infty) int_(n)^(n+2sqrtn) sqrtn/xdx $

dato che per $ (-\infty,n) $e $ (n+2\sqrt{n},+\infty) $ ho $1-1$

poi mi trovo $lim_(n->infty) log(((n+2sqrtn)/n)^(sqrtn))$ e avrei 2 come risultato, ho sbagliato qualcosa?

[dan952]

Ok