Convergenza di una successione di funzione con rapporto di seno ed esponenziale

[qwertyce1]

esercizio:

Studiare la convergenza puntuale della successione di funzioni
$f_n(x)=sin(n x)/(e^(nx^2))$
$x in RR$ , $n in NN$

la convergenza puntuale è facile:

$if x=0:$
$lim_(n \to +infty) sin(n x)/(e^(nx^2)) = 0/1=0$

$if x!=0:$
$lim_(n \to +infty) sin(n x)/(e^(nx^2)) =0$ (in quanto prodotto di una funzione infinitesima, cioè l'esponenziale, per una limitata, cioè il seno)

pertanto la funzione converge puntualmente alla funzione identicamente nulla per $AA x in RR$

successivo quesito:
La successione converge uniformemente su $RR$? In caso negativo, determinare gli insiemi
in cui $(f_n)_(n in NN)$ converge uniformemente

obiettivo che mi pongo: sfruttando la definizione di convergenza uniforme voglio fare il limite per $n rarr +infty$ dell'estremo superiore in $RR$ di $f_n(x)$, se tale limite sarà zero, saprò che si ha convergenza uniforme in $RR$ verso la funzione identicamente nulla.

$lim_(n \to +infty) Sup_(x \in RR) |f_n(x)|=0$

cerco il massimo di $f_n(x)$ tramite lo studio del segno della derivata prima:

$f'_n(x)=n(cos(nx)- 2 x sin (n x))/ (e^(nx^2))$

la derivata si annulla per i valori di x che annullano il numeratore:

$cos(nx)- 2 x sin (n x)=0$

e mi blocco qua, avevo pensato di poterla trattare come un'equazione goniometrica e sfruttare le formule parametriche, ma non è lineare data la x a fattore del seno.

posso riscriverla in questo modo:

$rarr 1/2x= tan(nx) \rarr arctan(1/2x)=nx$

ma mi blocco comunque e con la sensazione d'essermi perso in un bicchiere d'acqua, se riuscissi a esplicitare la x in funzione di n otterrei il valore del limite (che mi pare di intuire sarà diverso da zero, cioè che non si avrà convergenza uniforme in tutto $RR$)

[gugo82]

Ovviamente inciampi in un'equazione non risolvibile elementarmente. Tuttavia si possono dare delle stime per le soluzioni... "A occhio", la prima soluzione è quella che ti interessa stimare quanto velocemente va a zero, perché è quella in cui viene preso il massimo assoluto della $|f_n|$.

Oppure, esce fuori qualcosa di buono andando ad usare la maggiorazione elementare $|sin nx|<= n|x|$?

[qwertyce1]

"gugo82":Ovviamente inciampi in un'equazione non risolvibile elementarmente. Tuttavia si possono dare delle stime per le soluzioni... "A occhio", la prima soluzione è quella che ti interessa stimare quanto velocemente va a zero, perché è quella in cui viene preso il massimo assoluto della $|f_n|$.

Oppure, esce fuori qualcosa di buono andando ad usare la maggiorazione elementare $|sin nx|<= n|x|$?

forse non ho ben capito il tuo post, ma basandomi principalmente sulle tue parole "a occhio", "prima soluzione", e "maggiorazione" ho provato a impostare questo ragionamento:

davo per ovvio che quell'equazione della derivata prima posta uguale a zero dovesse essere facilmente risolvibile, quindi neanche avevo pensato a guardare bene la successione di funzioni sotto il valore assoluto:

$|f_n(x)|=|sin(n x)/(e^(nx^2))|$
Noto che è una sinusoide raddrizzata positiva con decadimento esponenziale, e in $x=0$ si annulla.
Data la parità di $f_n(x)$ ragiono nel semi intervallo positivo di $RR$ più lo $0$

Per ogni $n \in NN$ la successione di funzioni a numeratore è monotona crescente nella restrizione: $0<=nx<=pi/2 hArr 0<=x<=pi/(2n)$

Per ogni $n$ la successione di funzioni a denominatore è monotona crescente, e ha 1 come estremo inferiore.

Dato che la derivata $f'_n(x)=n(cos(nx)- 2 x sin (n x))/ (e^(nx^2))$ è maggiore di zero in un intorno destro di 0, ovvero di $|f_n(x)|$ il numeratore cresce più velocemente del denominatore, si ha che deve esistere un massimo locale nell'intervallo $0
Essendo la funzione a numeratore periodica con immagine l'intervallo $[0,1]$, e dato il decadimento esponenziale dovuto al denominatore, si ha che che quel massimo è assoluto.

Questo mio ragionamento è però solamente qualitativo, so ora che esiste un $r_0 \in (0,pi/(2n))$ t.c. $f_n(x)$ converge uniformemente in ogni intervallo appartenente all'insieme $RR - (-r_0,r_0)$ (cioè l'insieme dei numeri reali meno l'intorno aperto centrato in $0$ di raggio $r_0$)

La consegna dice di determinare gli insiemi in cui la successione converge uniformemente, sono sufficienti le informazioni che ho ricavato? sempre che siano corrette...

grazie per l'aiuto

[gugo82]

Non mi riferivo a questo quando dicevo di stimare... Ma lasciamo perdere, che è troppo complicato.

Vediamo l'altra strada che segnalavo.
Per noti fatti, per ogni $x>= 0$ abbiamo:
\[
\left| \frac{\sin nx}{e^{nx^2}} \right| \leq \frac{n x}{e^{nx^2}}\; ;
\]
il membro destro prende massimo assoluto in $x_n=1/sqrt(2n)$ (se non ho sbagliato i conti... Controlla!) e tale massimo è proporzionale a $1/sqrt(n)$ per ogni $n in NN$; dunque hai:
\[
\left| \frac{\sin nx}{e^{nx^2}} \right| \leq \frac{C}{\sqrt{n}}
\]
e la convergenza è certamente uniforme ovunque.

[qwertyce1]

"gugo82":Non mi riferivo a questo quando dicevo di stimare... Ma lasciamo perdere, che è troppo complicato.

Vediamo l'altra strada che segnalavo.
Per noti fatti, per ogni $x>= 0$ abbiamo:
\[
\left| \frac{\sin nx}{e^{nx^2}} \right| \leq \frac{n x}{e^{nx^2}}\; ;
\]
il membro destro prende massimo assoluto in $x_n=1/sqrt(2n)$ (se non ho sbagliato i conti... Controlla!) e tale massimo è proporzionale a $1/sqrt(n)$ per ogni $n in NN$; dunque hai:
\[
\left| \frac{\sin nx}{e^{nx^2}} \right| \leq \frac{C}{\sqrt{n}}
\]
e la convergenza è certamente uniforme ovunque.

i tuoi conti sono giusti.
non solo ho complicato inutilmente le cose, ma sono pure giunto a un risultato sbagliato volevo trovare un massimo che non andava a zero che non esisteva... comunque, grazie!