Convergenza di una successione

[hippo94]

Salve ragazzi, ho appena fatto l'esame di analisi 1 e dovo aver avuto le soluzioni ufficiali non ho ancora capito il perché della soluzione di un esercizio a crocette. Vi allego una piccola immagine dell'esercizio.
La crocetta ufficialmente giusta è quella segnata! Il problema è che non mi spiego il perché. Se la serie va da n=0 a Infinito, come può essere che ($a_n$)^2 non converga, per deve per forza essere che ($a_n$)^2 converge per confronto asintotico. Secondo me quella segnata sarebbe la crocetta giusta (considerato il criterio di Leibniz) se fosse n=1 to infinity!
Io all'esame ho segnato la crocetta a. Spero che qualcuno mi illumini Grazie mille.

[asker993]

ciao hippo...allora, la serie parte da 0...dunque se ci pensi all'infinito son daccordo che converge sempre ma per $n=0$ cosa succede? se per esempio abbiamo che $an=1/n$ allora $sen^(2)(1/n)$ per $n->infty$ è asintotica a $1/n^2$ e converge e con $n=0$ la serie comunque non diverge dato che il seno è una funzione periodica e non verrà mai sparata a $infty$ con un solo $n$...capisci? Cosa diversa è con la sola successione $an=1/n$ che per $n=0$ diverge e anche se converge a $+infty$ non potrà mai convergere globalmente detto questo, anche se fosse stato $sen^(100)an$ se la serie parte da $0$ diverge il termine $an$ (non sempre, per esempio se avessimo che $an=1/(n+1)$ non diverge) Questo è quello che penso io...vediamo cosa dicono altri magari

[hippo94]

Ok grazie della risposta.. Il problema, per come la vedo io, è appunto che se avessimo $ a_n $ = $ 1/n $ e quindi $ sin^2 (1/n) $ $~~$ $ 1/n^2 $ che per n che va da 1 (ad esempio) a infinito converge per confronto con la serie armonica generalizzata, per n che va da 0 a infinito non è proprio vero, cioè penso che sia scritta mala come minimo!
Ma fin qua non cambierebbe molto in ogni caso, se però $ a_n $ = $ 1/sqrt(n) $ avremo che $\sum_{n=1}^oo sin^2 (1/sqrt(n))$ converge per il criterio di Leibniz e non certo per quello asintotico infatti in quel caso $ (a_n)^2 $ diverge.
Per convergere con n che va da 0 a infinito $ sin^2(a_n) $ deve essere $ a_n $ qualcosa tipo $ 1/k^n $, che per n=0 fa 1, no? E quindi deve essere qualcosa che converge per confronto asintotico (e non certo per il criterio di Leibniz ) e successivamente per qualche criterio applicato al confronto. Bho non mi capacito ancora, anche se purtroppo ho sempre più la sensazione di sbagliarmi

[asker993]

stai attento, $sen^(2)n$ è una successione positiva, perciò te non puoi applicare leibniz qua, lo puoi fare solo nel caso in cui c'è un termine oscillante ($+-1$), la successione decresce e il termine generale per $x->+infty$ tende a $0$...dunque, non può essere che $ \sum_{n=1}^oo sin^2 (1/sqrt(n)) $ sia convergente, infatti questa serie è divergente e ovviamente anche $an$ è divergente, ma non è quello domandato nel compito...il secondo esempio che hai messo te è specifico e in quel caso hai ragione te, ma se $an=1/n$ come fai a farmi quel ragionamento (nella domanda è esplicito che può divergere, non che è certo che diverga)? Dato che per $n=0$ la serie è gia ad $infty$?

[hippo94]

ok mi sono sbagliato! Imbarazzante, ma almeno adesso ho capito. Grazie!