Convergenza di una successione
la successione reale $(a_n)_(n in NN)$ è così definita
$a_n$ è l'unico zero positivo del polinomio $x^n+x^(n-1)+....+x-1$
provare che la successione converge e calcolarne il limite
non riesco a risolverlo.
Intuitivamente mi verrebbe da dire che la serie è decrescente (o se non proprio decrescente,"oscillante decrescente")
e siccome $a_1=1$ direi che tutti gli $a_n$ sono compresi tra 0 e 1
ora posso riscrivere il polinomio n-esimo nella forma
$(\sum_{k=0}^n x^k)-2$
ed essa è uguale a $(1-x^(n+1))/(1-x) -2$
quindi ho pensato che il $\lim_{n\to\infty} a_n$ è quell'x tale che
$\lim_{n\to\infty} (1-x^(n+1))/(1-x) -2 =0$
cioè x tale che
$1/(1-x) -2 =0$ quindi $x=1/2$
ammesso che quanto ho scritto sia corretto, resta aperta la questione se la successione sia effettivamente tutta compresa fra 0 e 1,che non so come mostrare
inoltre mi voene richiesto di dire PRIMA che converge e POI calolarne il limite
il tutto si risolverebbe se fosse decrescente (visto che è limitata,cio se non sbaglio basterebbe a mostrarne la convergenza).
potete aiutarmi?
$a_n$ è l'unico zero positivo del polinomio $x^n+x^(n-1)+....+x-1$
provare che la successione converge e calcolarne il limite
non riesco a risolverlo.
Intuitivamente mi verrebbe da dire che la serie è decrescente (o se non proprio decrescente,"oscillante decrescente")
e siccome $a_1=1$ direi che tutti gli $a_n$ sono compresi tra 0 e 1
ora posso riscrivere il polinomio n-esimo nella forma
$(\sum_{k=0}^n x^k)-2$
ed essa è uguale a $(1-x^(n+1))/(1-x) -2$
quindi ho pensato che il $\lim_{n\to\infty} a_n$ è quell'x tale che
$\lim_{n\to\infty} (1-x^(n+1))/(1-x) -2 =0$
cioè x tale che
$1/(1-x) -2 =0$ quindi $x=1/2$
ammesso che quanto ho scritto sia corretto, resta aperta la questione se la successione sia effettivamente tutta compresa fra 0 e 1,che non so come mostrare
inoltre mi voene richiesto di dire PRIMA che converge e POI calolarne il limite
il tutto si risolverebbe se fosse decrescente (visto che è limitata,cio se non sbaglio basterebbe a mostrarne la convergenza).
potete aiutarmi?
Risposte
Indica con \(p_n\) il polinomio in questione. Hai già visto che
\[
p_n(x) = \frac{2x-1-x^{n+1}}{1-x}, \qquad x\neq 1.
\]
In particolare \(p_n(1/2) < 0\) e \(p_n(1) > 0\), dunque \(a_n \in (1/2, 1)\).
Poiché \(\lim_n p_n(x) > 0\) per ogni \(x > 1/2\), avrai che \(1/2 < a_n < x\) definitivamente per ogni \(x > 1/2\) (se ti può aiutare, pensa \(x= 1/2+\epsilon\) e vedi cosa deduci).
\[
p_n(x) = \frac{2x-1-x^{n+1}}{1-x}, \qquad x\neq 1.
\]
In particolare \(p_n(1/2) < 0\) e \(p_n(1) > 0\), dunque \(a_n \in (1/2, 1)\).
Poiché \(\lim_n p_n(x) > 0\) per ogni \(x > 1/2\), avrai che \(1/2 < a_n < x\) definitivamente per ogni \(x > 1/2\) (se ti può aiutare, pensa \(x= 1/2+\epsilon\) e vedi cosa deduci).
ok ho capito!!
grazie mille
grazie mille
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