Convergenza di una serie... un confronto lecito o no?
allora io devo studiare il carattere della serie
$\sum_{n=1}^infty (n!)/(n^n)$ io ho detto che converge perchè $(n!)/(n^n) < n^(n-2)/(n^n)$, la quale converge; l'ho fatto pensando che il fattoriale doveva essere minore di n^(n-2) ma... ho ancora il dubbio se questo confronto sia lecito... il fattoriale di infinito non è facile a "visualizzare"! voi che dite, è giusto o no?
$\sum_{n=1}^infty (n!)/(n^n)$ io ho detto che converge perchè $(n!)/(n^n) < n^(n-2)/(n^n)$, la quale converge; l'ho fatto pensando che il fattoriale doveva essere minore di n^(n-2) ma... ho ancora il dubbio se questo confronto sia lecito... il fattoriale di infinito non è facile a "visualizzare"! voi che dite, è giusto o no?
Risposte
Qui mi sa che per vedere se hai ragione è utile osservare le formule di Stirling, che ci dicono che:
$lim_(n rightarrow oo) (n!)/(sqrt(2pin)*(n/e)^n) = 1$
oppure:
$lim_(n rightarrow oo) (e^n*n!)/(n^nsqrt(n))=sqrt(2pi)$
Se la tua disequazione valesse avremmo che:
$lim_(n rightarrow oo) (n!)/n^(n-2) = 0$
verifico:
$lim_(n rightarrow oo) (n!)/n^(n-2) =lim_(n rightarrow oo) (sqrt(2pin)*(n/e)^n)/(n^n/n^2) =lim_(n rightarrow oo) (sqrt(2pin)*n^2)/e^n =0$
quindi la tua disequazione pare corretta... (a meno di miei errori o orrori
)
$lim_(n rightarrow oo) (n!)/(sqrt(2pin)*(n/e)^n) = 1$
oppure:
$lim_(n rightarrow oo) (e^n*n!)/(n^nsqrt(n))=sqrt(2pi)$
Se la tua disequazione valesse avremmo che:
$lim_(n rightarrow oo) (n!)/n^(n-2) = 0$
verifico:
$lim_(n rightarrow oo) (n!)/n^(n-2) =lim_(n rightarrow oo) (sqrt(2pin)*(n/e)^n)/(n^n/n^2) =lim_(n rightarrow oo) (sqrt(2pin)*n^2)/e^n =0$
quindi la tua disequazione pare corretta... (a meno di miei errori o orrori
)
mmmm conta che noi all'università queste formule di stirling non le abbiamo proprio accennate... sennò quale sarebbe il giusto metodo per studiare la convergenza di quella serie con gli strumenti in mio possesso? grazie!
Se usi il criterio del rapporto:
$lim_(n rightarrow oo) a_(n+1)/a_n= lim_(n rightarrow oo) (((n+1)!)/(n+1)^(n+1))/((n!)/n^n) = lim_(n rightarrow oo) (n/(n+1))^n =1/e$
Che implica la convergenza.
$lim_(n rightarrow oo) a_(n+1)/a_n= lim_(n rightarrow oo) (((n+1)!)/(n+1)^(n+1))/((n!)/n^n) = lim_(n rightarrow oo) (n/(n+1))^n =1/e$
Che implica la convergenza.
"boulayo":puoi usare anche il criterio della radice
allora io devo studiare il carattere della serie
$\sum_{n=1}^infty (n!)/(n^n)$ io ho detto che converge perchè $(n!)/(n^n) < n^(n-2)/(n^n)$, la quale converge; l'ho fatto pensando che il fattoriale doveva essere minore di n^(n-2) ma... ho ancora il dubbio se questo confronto sia lecito... il fattoriale di infinito non è facile a "visualizzare"! voi che dite, è giusto o no?
$lim_(n->oo) root(n)(n!)/n = 1/oo = 0 < 1 =>$ converge
ho sbagliato qualcosa io o il criterio del rapporto e della radice dovrebbero dare lo stesso risultato??
Puoi anche notare che il termine $a_n$ è costituito da fattori ciascuno $\le1$, ed è quindi $\le$ al prodotto dei primi due, cioè $\frac{n!}{n^n} \le frac{2}{n^2}$.
Non sono fermamente convinto che:
$lim_(n rightarrow oo) root(n)(n!) =1$
Ma vedo poi e vi so dire...
$lim_(n rightarrow oo) root(n)(n!) =1$
Ma vedo poi e vi so dire...
Infatti per Stirling:
$lim_(n rightarrow oo) (root(n)(n!))/n =lim_(n rightarrow oo) root(n)(sqrt(2pin)n^n e^(-n))/n = lim_(n rightarrow oo) root(2n)(2pin)/e = 1/e$
questo è perchè il limite:
$lim_(n rightarrow oo) (root(n)(n!)) = lim_(n rightarrow oo) root(n)(sqrt(2pin)n^n e^(-n)) = lim_(n rightarrow oo) (n/e)root(n)(sqrt(2pin)) = +oo$
$lim_(n rightarrow oo) (root(n)(n!))/n =lim_(n rightarrow oo) root(n)(sqrt(2pin)n^n e^(-n))/n = lim_(n rightarrow oo) root(2n)(2pin)/e = 1/e$
questo è perchè il limite:
$lim_(n rightarrow oo) (root(n)(n!)) = lim_(n rightarrow oo) root(n)(sqrt(2pin)n^n e^(-n)) = lim_(n rightarrow oo) (n/e)root(n)(sqrt(2pin)) = +oo$
ops..allora chiedo scusa.. 
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