Convergenza di una serie strana
Ciao a tutti! Sto facendo un'esercizio per vedere se questa serie $\sum_{n=1}^\infty 1/(\pi^n-n^(\pi))$ converge o diverge.
Ho provato ad usare il criterio del rapporto ma mi viene 1 e quindi non si sa cosa fa. MI date qualche dritta su che criterio possa usare? E come devo comportarmi in generale con serie simili? Grazie a tutti per la gentile risposta!
Ho provato ad usare il criterio del rapporto ma mi viene 1 e quindi non si sa cosa fa. MI date qualche dritta su che criterio possa usare? E come devo comportarmi in generale con serie simili? Grazie a tutti per la gentile risposta!
Risposte
la riuscite a vedere la serie? L'ho sistemata
Adesso sì.
Con il criterio del rapporto: \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\pi^{n} - n^{\pi}}{\pi^{n+1}-(n+1)^{\pi}}= \]
\[\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{\pi^{n} \left(1 - \frac{n^{\pi}} {\pi^{n}} \right)}{\pi^{n+1} \left(1 - \frac{(n+1)^{\pi}}{ \pi^{n+1}} \right)}=\frac{1}{\pi}<1 \]
Rivedi i tuoi conti.
Con il criterio del rapporto: \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\pi^{n} - n^{\pi}}{\pi^{n+1}-(n+1)^{\pi}}= \]
\[\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{\pi^{n} \left(1 - \frac{n^{\pi}} {\pi^{n}} \right)}{\pi^{n+1} \left(1 - \frac{(n+1)^{\pi}}{ \pi^{n+1}} \right)}=\frac{1}{\pi}<1 \]
Rivedi i tuoi conti.
Grazie mille! Non riesco a manipolare i limiti e quindi l'ultimo passaggio non mi veniva!
Ne scrivo un'altra a prima vista più difficile ma penso che il mio ragionamento possa andare. La serie è questa $\sum_{n=3}^(\infty) 1/(nlnnsqrt(lnlnn))$.
Per il criterio del confronto poichè $\sum_{n=3}^(\infty) 1/(nlnnsqrt(lnlnn)) < 1/n$ la serie diverge. E' giusto?
Per il criterio del confronto poichè $\sum_{n=3}^(\infty) 1/(nlnnsqrt(lnlnn)) < 1/n$ la serie diverge. E' giusto?
Assolutamente no. Prova a pensarci: hai applicato bene il teorema del confronto?
Una serie maggiorata da una serie divergente non è necessariamente a sua volta divergente.
Una serie maggiorata da una serie divergente non è necessariamente a sua volta divergente.
Suggerimento: Usare il criterio di condensazione di Cauchy.
P.S.: Non vedo cosa ci sia di strano nella prima serie... Insomma, essa è definitivamente positiva e maggiorata dalla serie geometrica di ragione \(1/\pi\), quindi converge per confronto.
P.S.: Non vedo cosa ci sia di strano nella prima serie... Insomma, essa è definitivamente positiva e maggiorata dalla serie geometrica di ragione \(1/\pi\), quindi converge per confronto.
Ecco come ho raginato usando il criterio di condensazione di Cauchy per la serie: $\sum_{n=3}^\infty 1/(nlnnsqrt(lnlnn))$.
$\sum_{n=3}^\infty 1/(nlnnsqrt(lnlnn))$ = $\sum_{n=3}^\infty 2^n/(2^n(lne^(nln2))(sqrt(lnlne^(nln2))))$ = $\sum_{n=3}^\infty 1/(n(lnn)(ln2)(sqrt(lnln2)))$ poichè b = 1/2 la serie diverge.
$\sum_{n=3}^\infty 1/(nlnnsqrt(lnlnn))$ = $\sum_{n=3}^\infty 2^n/(2^n(lne^(nln2))(sqrt(lnlne^(nln2))))$ = $\sum_{n=3}^\infty 1/(n(lnn)(ln2)(sqrt(lnln2)))$ poichè b = 1/2 la serie diverge.
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