Convergenza di una serie numerica con parametro reale
Buongiorno a tutti,
Avrei dei problemi con lo studio di questa serie
$sum_{n=1}^\infty ((n+2)^\alpha - (n+1)^\alpha)/((n+1)^\alpha - n^\alpha)$
con $\alpha in R$
Ora, il problema è che provando col criterio del rapporto mi pare di non cavarci le gambe, non cambia nulla.. Provando con le stime asintotiche all'infinito mi viene ovviamente
$sum_{n=1}^\infty (n^\alpha - n^\alpha)/(n^\alpha - n^\alpha) = sum_{n=1}^\infty 0/0$ ?
Mi pare ci sia qualcosa che non va.. Immagino la soluzione sia estremamente stupida, ma non riesco a trovarla attualmente
Potete darmi una mano? Grazie! 
Avrei dei problemi con lo studio di questa serie
$sum_{n=1}^\infty ((n+2)^\alpha - (n+1)^\alpha)/((n+1)^\alpha - n^\alpha)$
con $\alpha in R$
Ora, il problema è che provando col criterio del rapporto mi pare di non cavarci le gambe, non cambia nulla.. Provando con le stime asintotiche all'infinito mi viene ovviamente
$sum_{n=1}^\infty (n^\alpha - n^\alpha)/(n^\alpha - n^\alpha) = sum_{n=1}^\infty 0/0$ ?
Mi pare ci sia qualcosa che non va.. Immagino la soluzione sia estremamente stupida, ma non riesco a trovarla attualmente
Potete darmi una mano? Grazie!
Risposte
procedi con le stime asintotiche ma non dimenticarti degli infinitesimi: devi sviluppare con Taylor perchè hai delle compensazioni esatte.
Ciao blak24,
Farei così... Raccogliendo $(n + 1)^{\alpha} $ a numeratore e $n^{\alpha} $ a denominatore, si ha:
$ sum_{n=1}^\infty ((n+2)^\alpha - (n+1)^\alpha)/((n+1)^\alpha - n^\alpha) = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(frac{n+2}{n+ 1})^\alpha - 1}{(frac{n + 1}{n})^{\alpha} - 1} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(1 + frac{1}{n+ 1})^\alpha - 1}{(1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1}$
Ricordando il limite notevole
$lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha \implies (1 + x)^{\alpha} - 1 $ [tex]\sim[/tex] $\alpha x $ per $x \to 0$, si ha:
$ (1 + frac{1}{n+ 1})^{\alpha} - 1 $ [tex]\sim[/tex] $ frac{\alpha}{n+ 1} $ per $n \to +\infty $;
$ (1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1 $ [tex]\sim[/tex] $ frac{\alpha}{n} $ per $n \to +\infty $
Quindi si ha:
$ sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(1 + frac{1}{n+ 1})^\alpha - 1}{(1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1} $[tex]\sim[/tex] $ sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{frac{\alpha}{n+ 1}}{frac{\alpha}{n}} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{n}{n + 1} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha - 1} $
L'ultima serie scritta non soddisfa la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza, in quanto $lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0 $, per cui la serie iniziale proposta è divergente $ \AA \alpha \in \RR $.
Farei così... Raccogliendo $(n + 1)^{\alpha} $ a numeratore e $n^{\alpha} $ a denominatore, si ha:
$ sum_{n=1}^\infty ((n+2)^\alpha - (n+1)^\alpha)/((n+1)^\alpha - n^\alpha) = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(frac{n+2}{n+ 1})^\alpha - 1}{(frac{n + 1}{n})^{\alpha} - 1} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(1 + frac{1}{n+ 1})^\alpha - 1}{(1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1}$
Ricordando il limite notevole
$lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha \implies (1 + x)^{\alpha} - 1 $ [tex]\sim[/tex] $\alpha x $ per $x \to 0$, si ha:
$ (1 + frac{1}{n+ 1})^{\alpha} - 1 $ [tex]\sim[/tex] $ frac{\alpha}{n+ 1} $ per $n \to +\infty $;
$ (1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1 $ [tex]\sim[/tex] $ frac{\alpha}{n} $ per $n \to +\infty $
Quindi si ha:
$ sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(1 + frac{1}{n+ 1})^\alpha - 1}{(1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1} $[tex]\sim[/tex] $ sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{frac{\alpha}{n+ 1}}{frac{\alpha}{n}} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{n}{n + 1} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha - 1} $
L'ultima serie scritta non soddisfa la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza, in quanto $lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0 $, per cui la serie iniziale proposta è divergente $ \AA \alpha \in \RR $.
"pilloeffe":
Ciao blak24,
Farei così... Raccogliendo $ (n + 1)^{\alpha} $ a numeratore e $ n^{\alpha} $ a denominatore, si ha:
$ sum_{n=1}^\infty ((n+2)^\alpha - (n+1)^\alpha)/((n+1)^\alpha - n^\alpha) = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(frac{n+2}{n+ 1})^\alpha - 1}{(frac{n + 1}{n})^{\alpha} - 1} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(1 + frac{1}{n+ 1})^\alpha - 1}{(1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1} $
Ricordando il limite notevole
$ lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha \implies (1 + x)^{\alpha} - 1 $ \( \sim \) $ \alpha x $ per $ x \to 0 $, si ha:
$ (1 + frac{1}{n+ 1})^{\alpha} - 1 $ \( \sim \) $ frac{\alpha}{n+ 1} $ per $ n \to +\infty $;
$ (1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1 $ \( \sim \) $ frac{\alpha}{n} $ per $ n \to +\infty $
Quindi si ha:
$ sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{(1 + frac{1}{n+ 1})^\alpha - 1}{(1 + frac{1}{n})^{\alpha} - 1} $\( \sim \) $ sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{frac{\alpha}{n+ 1}}{frac{\alpha}{n}} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha} frac{n}{n + 1} = sum_{n=1}^\infty (frac{n + 1}{n})^{\alpha - 1} $
L'ultima serie scritta non soddisfa la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza, in quanto $ lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0 $, per cui la serie iniziale proposta è divergente $ \AA \alpha \in \RR $.
Ok qui ci sono, grazie!
"cooper":
procedi con le stime asintotiche ma non dimenticarti degli infinitesimi: devi sviluppare con Taylor perchè hai delle compensazioni esatte.
Ciao cooper, ma lo sviluppo in serie di taylor su che termini lo faccio? Non riesco a capire come fare in questo caso
Se intendi sui termini $(1+n)^\alpha$ ok, solo che non sapendo quanto vale $\alpha$ come faccio a calcolare lo sviluppo in serie corretto? Voglio dire, anche dividessi per casi con $\alpha > 0$ e $\alpha < 0$ avrei comunque dei casi generali per cui sviluppare in serie rimarrebbe con una formula generica.. Cosa mi sfugge?
in pratica quello che suggerivo di fare io è identico al procedimento di @pilloeffe ma dove lui ha utilizzato i limiti notevoli io suggerivo di usare Taylor. basta sviluppare al primo ordine e non ti serve conoscere $alpha$ lo tieni così fino alla fine e vedi cosa esce (sarà identico a quello con i limiti notevoli che qui accorciano in effetti i tempi)
"cooper":
procedi con le stime asintotiche ma non dimenticarti degli infinitesimi: devi sviluppare con Taylor perchè hai delle compensazioni esatte.
In particolare hai:
\[
\begin{split}
\frac{(n+2)^a - (n+1)^a}{(n+1)^a -n^a} &= \frac{(1+2/n)^a - (1+1/n)^a}{(1+1/n)^a - 1}\\
&\approx \frac{1+\frac{2a}{n} - 1-\frac{a}{n}}{1 + \frac{a}{n} -1}\\
&= 1.
\end{split}
\]
Adesso a chiarissimo! Grazie a tutti!
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