Convergenza di una serie numerica!
ragazzi mi dite come si studia la convergenza di questa serie numerica:
$\sum_{n=1} 1-$$e^{tan(1/n)}$
$\sum_{n=1} 1-$$e^{tan(1/n)}$
Risposte
Idee tue?
ho applicato il criterio degli infinitesimi con p=-1 .... ma mi è stato detto dalla professoressa che p non può essere negativo ... cosa che mi sembra strana visto che sul libro c'è scritto che p è un numero reale!!!
Ok... Ma i conti che hai fatto quali sono?
non so usare bene le regole del forum... non riesco a scrivere tutti i passaggi... volevo sapere se è vero che p non può essere negativo!
allora avevo applicato il criterio degli infinitesimi con p=-1 poi ho messo il - in evidenza e moltiplicato e diviso per tan(1/n)
così ottengo il limite notevole che tende a zero ma resta cmq una forma indeterminata!!!
non so se si è capito qualcosa!
così ottengo il limite notevole che tende a zero ma resta cmq una forma indeterminata!!!
non so se si è capito qualcosa!
Tenendo presente che per i limiti notevoli si ha:
\[
e^y -1 \approx y\quad \text{e} \quad \tan y\approx y \quad \text{per } y\to 0\; ,
\]
si ha:
\[
e^{\tan 1/n} -1\approx \tan \frac{1}{n} \approx \frac{1}{n}\; ;
\]
visto che:
\[
\sum_{n=1}^\infty 1-e^{\tan 1/n} =-\sum_{n=1}^\infty e^{\tan 1/n} -1
\]
puoi concludere col confronto asintotico.
\[
e^y -1 \approx y\quad \text{e} \quad \tan y\approx y \quad \text{per } y\to 0\; ,
\]
si ha:
\[
e^{\tan 1/n} -1\approx \tan \frac{1}{n} \approx \frac{1}{n}\; ;
\]
visto che:
\[
\sum_{n=1}^\infty 1-e^{\tan 1/n} =-\sum_{n=1}^\infty e^{\tan 1/n} -1
\]
puoi concludere col confronto asintotico.
grazie mille 
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