Convergenza di una serie numerica
Buonasera a tutti! Sto ancora cercando di capire il carattere di una serie numerica 
, questo è il testo:
\(\displaystyle \sum n^3 [sen ( \frac {-2}{n} + \frac{1}{n^2}) - sen ( \frac {2}{n} + \frac{1}{n^2})]\) (ovviamente sopra il simbolo della sommatoria ci va infinito e sotto n=1, ma non ho trovato il simbolo corrispondente, chiedo venia
)
Allora il mio dubbio su come procedere è il seguente.
Pensavo di applicare al seno (dato che tende a zero) lo sviluppo in serie di Taylor.
Ma quello che vorrei sapere precisamente è:
Posso togliere dall'argomento sia del primo seno che del secondo:
\(\displaystyle \frac{1}{n^2} \) in quanto so che è convergente?
Vi ringrazio in anticipo!
, questo è il testo:\(\displaystyle \sum n^3 [sen ( \frac {-2}{n} + \frac{1}{n^2}) - sen ( \frac {2}{n} + \frac{1}{n^2})]\) (ovviamente sopra il simbolo della sommatoria ci va infinito e sotto n=1, ma non ho trovato il simbolo corrispondente, chiedo venia
)Allora il mio dubbio su come procedere è il seguente.
Pensavo di applicare al seno (dato che tende a zero) lo sviluppo in serie di Taylor.
Ma quello che vorrei sapere precisamente è:
Posso togliere dall'argomento sia del primo seno che del secondo:
\(\displaystyle \frac{1}{n^2} \) in quanto so che è convergente?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
no non puoi farlo...però puoi osservare $sinx$ va come $x$ per $x\rightarrow0$....da ciò noti
che si semplifica abbastanza e ti viene fuori una serie divergente...
che si semplifica abbastanza e ti viene fuori una serie divergente...
"steven86":
no non puoi farlo...però puoi osservare $sinx$ va come $x$ per $x\rightarrow0$....da ciò noti
che si semplifica abbastanza e ti viene fuori una serie divergente...
Quindi dato che tende a zero, applico immediatamente Taylor con l'argomento che ho?
No non puoi trascurarlo attraverso questo ragionamento, a che fine poi?; perchè ti è venuta in mente questa cosa?
EDIT: Si alla precedente domanda
EDIT: Si alla precedente domanda
"seven":
No non puoi trascurarlo attraverso questo ragionamento, a che fine poi?; perchè ti è venuta in mente questa cosa?
Per semplificare la cosa, ovviamente. Una deduzione errata a quanto vedo.
Vedi però che la semplificazione c'è lo stesso attraverso il ragionamento corretto
Se vuoi usare le formule di Taylor, di conviene osservare che
\( \sin(\frac{-2}{n} + \frac{1}{n^2}) = \frac{-2}{n} + \frac{1}{n^2} + o(\frac{1}{n^2}) \)
e analogamente per l'altro $\sin$.
\( \sin(\frac{-2}{n} + \frac{1}{n^2}) = \frac{-2}{n} + \frac{1}{n^2} + o(\frac{1}{n^2}) \)
e analogamente per l'altro $\sin$.
Grazie a tutti,
allora io sono arrivato ad ottenere:
\(\displaystyle \sum n^3 [\frac {-4}{n} + o (\frac {1}{n^3})] \)
A questo punto, precisamente, come deduco il carattere della serie?
allora io sono arrivato ad ottenere:
\(\displaystyle \sum n^3 [\frac {-4}{n} + o (\frac {1}{n^3})] \)
A questo punto, precisamente, come deduco il carattere della serie?
In parentesi quadra c'è $\frac{-4}{n} + o (\frac{1}{n^2})$.
A questo punto il carattere dovrebbe essere evidente.
A questo punto il carattere dovrebbe essere evidente.
"Rigel":
In parentesi quadra c'è $\frac{-4}{n} + o (\frac{1}{n^2})$.
A questo punto il carattere dovrebbe essere evidente.
Ok dentro la parentesi quadra la serie dovrebbe divergere per la serie armonica, giusto?
Ma l' \(\displaystyle n^3 \) fuori dalla quadra, invece?
Scusami se sto facendo domande banali, però vorrei essere abbastanza certo
non sai se $sum\n^3$ diverge o meno? e invece di ragionare sui singoli fattori fai il prodotto
"seven":
non sai se $sum\n^3$ diverge o meno? e invece di ragionare sui singoli fattori fai il prodotto
No non so se \(\displaystyle n^3 \) diverge o meno. Nel caso del prodotto, come tu mi hai consigliato di fare, alla fine otterrei: \(\displaystyle \sum -4n^2 + o (\frac {1}{n^3}) \)
Comunque avrei un altro quesito, riguardante questa serie:
\(\displaystyle \sum n^6 [ln (1 - \frac {2}{n} + \frac {1}{n^2}) + ln (1 + \frac {2}{n} + \frac {1}{n^2})] \)
Ho provato a risolvere la serie in due modi differenti.
Nella prima occasione ho usato le proprietà dei logaritmi, facendo il minimo comune multiplo in entrambi gli argomenti, spezzandoli in più parti e poi raccogliendoli. Tutto ciò non credo mi abbia portato ad un risultato.
Allora in seguito, ho pensato che avrei potuto applicare immediatamente le formule di Taylor.
So che la formula di Taylor del logaritmo è per \(\displaystyle log (1+x) \) , quindi mi chiedevo se potevo considerare dell'argomento del mio logaritmo:
l'1 come l'\(\displaystyle 1 \) della formula prestabilita di Taylor e \(\displaystyle (\frac {2}{n} + \frac {1}{n^2}) \) come la mia x.
Facendo tutti i calcoli, alla fine sono arrivato ad ottenere:
\(\displaystyle \sum n^6 [ \frac {4n^2+4n+1}{n^4}] \) è possibile?
La parte sopra è un quadrato di binomio. Facendo la radice quadrata ottengo 2n+1/n^2, quindi confrontandola con 2n/n^2 ottengo una divergenza per la serie armonica. Quindi nelle quadre ho una divergenza, ma n^6 invece?
Grazie mille!
"Smilator":
\(\sum_{n=1}^\infty n^3 [\sin ( \frac{-2}{n} + \frac{1}{n^2}) - \sin ( \frac {2}{n} + \frac{1}{n^2})]\)
Beh, una delle formule di prostaferesi dice che:
\[
\sin \alpha -\sin \beta = 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\ \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
\]
quindi la tua serie si riscrive:
\[
-2\sum_{n=1}^\infty n^3 \cos \frac{1}{n^2}\ \sin\frac{2}{n}
\]
ma \(\cos \frac{1}{n^2} \approx 1\) mentre \(\sin\frac{2}{n} \approx \frac{2}{n}\), quindi \(n^3 \cos \frac{1}{n^2}\ \sin\frac{2}{n} \approx 2n^2\) e per il criterio del confronto asintotico la tua serie diverge.
Edit:
Ok mi vergogno della domanda imbarazzante che ho fatto
Ho capito tutto, grazie ancora per l'aiuto
Ok mi vergogno della domanda imbarazzante che ho fatto
Ho capito tutto, grazie ancora per l'aiuto
si ma $-4/n$ lo semplifichi con $n^3$ e ti diventa la serie $\sum -4n^2$ che si vede subito che diverge (notando ovviamente che l'o-piccolo è trascurabile)....
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