Convergenza di una serie numerica

[lisacassidy]

Buongiorno
Dovrei stabilire se la seguente serie è convergente:

$ sum_(n = 1) ^(+oo )(-1)^n1/(log(2^n+3) $

- é una serie a termini alterni
- la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta quindi la serie può convergere.

Non saprei però come verificare la convergenza qualcuno mi aiuta?

[anonymous_0b37e9]

Basta applicare il criterio di Leibniz.

[lisacassidy]

Ok, grazie. Anche io avevo pensato di applicare quel criterio, ma non capivo come. Ora ci sono riuscita. Ho verificato prima il limite e poi che è decrescente e mi è venuto.

Avrei un’altra serie di questo tipo alla quale sto provando ad applicare sempre lo stesso criterio, ma n! mi crea qualche problema. Dovrei provare a studiare la convergenza assoluta in questo caso?

$ sum_(n =1) ^(+oo )(-1)^n(3^n)/(5^n*n!) $

[anonymous_0b37e9]

Non è necessario. Anche in questo caso basta applicare il criterio di Leibniz:

Prima condizione (evidente)

$lim_(n->+oo)a_n=0$

Seconda condizione

$a_(n+1) lt= a_n harr$

$harr 3^(n+1)/(5^(n+1)*(n+1)!) lt= 3^n/(5^n*n!) harr$

$harr (3*3^n)/(5*5^n*(n+1)*n!) lt= 3^n/(5^n*n!) harr$

$harr 3/(5(n+1)) lt= 1harr$

$harr 5n+2 gt= 0$

[lisacassidy]

Aaa ok!! Grazie mille!!!

[pilloeffe]

Ciao eleonoraponti,

"eleonoraponti":Avrei un’altra serie di questo tipo alla quale sto provando ad applicare sempre lo stesso criterio, ma n! mi crea qualche problema. Dovrei provare a studiare la convergenza assoluta in questo caso?

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n (3^n)/(5^n \cdot n!) $

In realtà in questo caso specifico non solo si vede subito che la serie proposta è convergente, ma se ne riesce anche a calcolare agevolmente la somma, infatti la serie proposta si può scrivere nella forma seguente:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(n!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) - 1 = e^x - 1 $

con $x = - 3/5 $, pertanto si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n (3^n)/(5^n \cdot n!) = e^{- 3/5} - 1 = 1/e^{3/5} - 1 < 0 $

[lisacassidy]

Giusto!! Grazie mille!!