Convergenza di una serie logaritmica

[forna-votailprof]

Buonasera a tutti, non riesco a dimostrare la convergenza della seguente serie:
$ sum_(n=1) (ln n -ln (ln n ))/n^2 $
Ho provato con tutti i criteri utilizzati solitamente ma nulla. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie mille. Buona serata.
N.B: non sono riuscito ad inserirlo, ma la serie va da 1 a +infinito.

[otta96]

Prova a spezzarlo nella somma di due serie.

[forna-votailprof]

Già provato anche questa strada...

[pilloeffe]

Ciao Forna,

Quando ci sono così tanti logaritmi di solito conviene il criterio di condensazione di Cauchy...

[Weierstress]

Scommetto che non hai provato un criterio, bistrattatissimo: il criterio di condensazione!

Edit: leggo ora il tuo messaggio pilloeffe... perdonatemi la ridondanza

[forna-votailprof]

Effettivamente non avevo provato con questo, ma la situazione non migliora di molto.
Grazie comunque

[pilloeffe]

Ciao Weierstress,

No problem, tanto più che siamo in perfetta sintonia...

@Forna

Applicando il crierio di condensazione di Cauchy e facendo poi uso della ben nota proprietà dei logaritmi

$ ln a - ln b = ln(a/b) $

dovresti trovare la serie seguente:

$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{ln(frac{2^n}{n ln 2})}{2^n} $

che per il criterio del rapporto è convergente.

[forna-votailprof]

Ok risolto! Ora è tutto chiarissimo! Grazie infinite!

[zorn801]

In realtà, di che ordine di infinitesimo parliamo nel termine generale?