Convergenza di una serie geometrica

[giulysory]

Salve ragazzi, vorrei chiarirmi un dubbio riguardo un esercizio banale, ché il non riuscire a venirne a capo mi imbestialisce come non mai.
L'esercizio è il seguente:
- Verifica per quali valori della $x$ la seguente serie converge:
$ - \sum_{k=0}^infty (log_2 (x-1)/log_2(x-2))^k$

Il campo di esistenza è=$ ]2,3[ u ]3,+infty[$
Inoltre, essendo la seguente una serie geometrica e dato che sono a conoscenza della convergenza della serie, impongo $ -1 < (Sn) < 1 $.
Così analizzo cosa succede nel momento in cui la ragione è minore di $1$ e successivamente quando è maggiore di $1$.
Per cui:

$ -(log_2 (x-1)/log_2(x-2)) < 1 \Rightarrow ((log_2 (x-1)-log_2(x-2))/log_2(x-2)) <0$

E mi ritrovo al numeratore $(x-1) < (x-2)$ e con una disequazione del genere, penso di aver necessariamente sbagliato qualche passaggio o ragionamento. (Preciso anche che una volta ritrovatami in questa situazione, non ho provato a proseguire.)
Una dritta è più che ben accetta, grazie mille

[kobeilprofeta]

Nelle c.e. $x!=3$

[giulysory]

Oddio sì, che erroraccio! Modifico subito!

[cooper1]

prova andare semplicemente avanti. Non è sbagliata a priori. è solo che non ha soluzioni; infatti $ 0<-1 $ è falsa. Nella regola dei segni poi tieni conto di questa soluzione. Io farei cossì

[giulysory]

Ok, ok.. provo ad andare avanti.
Allora, la ragione quando è minore di uno non ha soluzione.
Quindi $S₁=\phi$
Adesso studio cosa accade quando la ragione è maggiore di $-1$.

$(log_2 (x-1))/(log_2 (x-2)) > -1 $ quindi $ -log_2 (x-1) > log_2 (x-2)$

$ log_2 (1/(x-1)) > log_2 (x-2)$

$ (1/(x-1)) > x-2 $

$S₂= ]2, +((3 + sqrt5)/2)[$

$S= S₁uuS₂= ]2, +((3 + sqrt5)/2)[$

Va bene così, allora? Ne sono finalmente venuta a capo?!