Convergenza di una serie di potenze
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per un esercizio svolto dal mio prof. che non ho compreso pienamente.
Studiare la convergenza della serie
$sum_(n=0)^(+oo) (3+logn)/(n^2+2)(x-4)^n$
La serie data è una serie di potenze di centro 4.
Applicando il criterio del rapporto si ha:
$lim_(n rarr oo) (3+log(n+1))/((n+1)^2+2)(n^2+2)/(3+logn)=1$
Per il teorema di d'Alembert si ottiene che la serie ha raggio di convergenza 1 e quindi, per il teorema del raggio converge assolutamente in ]3,5[ e totalmete in qualsiasi intervallo [4-k,4+k] $AA k<1$. Rimane quindi da valutare il comportamento agli estremi
A questo punto ha eseguito un passaggio che non riesco a capire.
Per x=5 $(3+logn)/(n^2+2) n^alpha rarr oo$ se $alpha<2 rArr$converge
Da dove spunta fuori $n^alpha$?
volevo chiedervi una mano per un esercizio svolto dal mio prof. che non ho compreso pienamente.
Studiare la convergenza della serie
$sum_(n=0)^(+oo) (3+logn)/(n^2+2)(x-4)^n$
La serie data è una serie di potenze di centro 4.
Applicando il criterio del rapporto si ha:
$lim_(n rarr oo) (3+log(n+1))/((n+1)^2+2)(n^2+2)/(3+logn)=1$
Per il teorema di d'Alembert si ottiene che la serie ha raggio di convergenza 1 e quindi, per il teorema del raggio converge assolutamente in ]3,5[ e totalmete in qualsiasi intervallo [4-k,4+k] $AA k<1$. Rimane quindi da valutare il comportamento agli estremi
A questo punto ha eseguito un passaggio che non riesco a capire.
Per x=5 $(3+logn)/(n^2+2) n^alpha rarr oo$ se $alpha<2 rArr$converge
Da dove spunta fuori $n^alpha$?
Risposte
Non mi trovo d'accordo con quello che c'e' scritto, visto che per $\alpha<2$ quel limite e' $0$. Ma comunque il senso del procedimento e' secondo me il seguente: lui ti vuol dire che quel logaritmo al numeratore non conta praticamente niente e che il carattere della serie e' lo stesso della serie di termine generico $\frac{1}{n^2}$, che converge.
Una maniera per formalizzare questa idea e' la seguente. Si ha
$\frac{3+log n}{n^2+2}=\frac{3+log n}{\sqrt n}\cdot\frac{\sqrt n}{n^2+2}\leq\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$
Per cui puoi dominare la serie di partenza con una convergente.
P.s. non mi stare a sindacare che il $\leq$ di sopra non e' corretto, perche' sto ragionando "all'infinito e per approssimazione"...
Una maniera per formalizzare questa idea e' la seguente. Si ha
$\frac{3+log n}{n^2+2}=\frac{3+log n}{\sqrt n}\cdot\frac{\sqrt n}{n^2+2}\leq\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$
Per cui puoi dominare la serie di partenza con una convergente.
P.s. non mi stare a sindacare che il $\leq$ di sopra non e' corretto, perche' sto ragionando "all'infinito e per approssimazione"...
Innanzi tutto ti ringrazio per la risposta. Per quanto riguarda il fatto che quel limite sia 0 per $alpha<2$ sono d'accordo anch'io. Comunque ciò che non capisco è perché si chiami in causa quell' $n^alpha$. Non si deve condurre uno studio sulla serie $sum_(n=0)^(+oo) (3+log n)/(n^2+2)$?
L'idea è quella di studiare il carattere di quella serie cercando di maggiorarla (minorarla) da una serie che sai essere convergente (divergente). Dalla teoria sai bene qual è il carattere di una serie del tipo $\sum_(n=1)^(+oo) 1/n^alpha$ al variare di $alpha$.
Mi spiace di non riuscire ad essere chiaro. Purtroppo ho le idee un po' confuse dal fatto di non riuscire a venirne a capo quindi dovete avere un po' di pazienza con me 
.
Questa cosa l'ho capita. Non capisco la scrittura $(3+log n)/(n^2+2)*n^alpha$, ossia il moltiplicare l'argomento della serie per $n^alpha$.
."Seneca":
L'idea è quella di studiare il carattere di quella serie cercando di maggiorarla (minorarla) da una serie che sai essere convergente (divergente). Dalla teoria sai bene qual è il carattere di una serie del tipo $\sum_(n=1)^(+oo) 1/n^alpha$ al variare di $alpha$.
Questa cosa l'ho capita. Non capisco la scrittura $(3+log n)/(n^2+2)*n^alpha$, ossia il moltiplicare l'argomento della serie per $n^alpha$.
up
up
lascia perdere quella scrittura in particolare che e' tutt'altro che chiara (oltre a contenere l'errore che e' divergente, quando invece e' infinitesima). E' possibile che abbia preso male gli appunti. Il procedimento risolutivo e' presente in dettaglio nel mio post.
OK. Grazie.
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