Convergenza di una serie di funzioni

[MrMeaccia]

Ciao ragazzi! Ho delle difficoltà a risolvere questo esercizio: devo studiare la convergenza della serie
$ sum_(n = 2)^(oo )((-1)^(n))log (1+x^n)/n^x $
Ecco cosa ho fatto:
La serie di funzioni è a segni alterni, allora ho usato il criterio di Leibniz
1) controllo che $lim_(n->oo)|f_n(x)|=0$
$ lim_(n -> oo) |((-1)^(n))log (1+x^n)/n^x| = lim_(n -> oo) log (1+x^n)/n^x = lim_(n -> oo) log( x^n(1+1/x^n))/n^x = lim_(n -> oo) n*log x/n^x = lim_(n -> oo) log x * n^(1-x) $
Ottengo che
$ lim_(n -> oo) log x * n^(1-x) = { ( 0, per, 1-x<0,x>1 ),( 0, per, 1-x=0,x=1),( oo, per, 1-x>0,0 cioè la serie è infinitesima per $x>=1$.
2) controllo che sia una serie di funzioni decrescente
$|f_(n+1) (x)|<|f_(n) (x)|$ .. cioè..
$ log (1+x^(n+1))/(n+1)^x poiché $ n/(n+1) -> 1$ per $ n->oo $
posso scrivere $ log(1+x^(n+1)) cioè la serie è decrescente per x<1..
Come devo interpretare questa cosa? Cioè, che cosa posso trarre dal fatto che la serie è infinitesima per alcuni x e decrescente per altri x?
Studio i casi in cui è infinitesima, visto che il criterio di Leibniz non conferma i risultati trovati.

Studio il caso $x>1$ :
$log (1+x^n)/n^x = log( x^n(1+1/x^n))/n^x = log x * n^(1-x)$ e qui con una piccola manipolazione (considerando che la funzione logaritmo è definita proprio per le x che sto studiando) vedo che
$ sum 1/n^(x-1) < +oo, per, x-1>1 , x>2 $ quindi la serie converge per x>2.

Studio il caso $x=1$ :
la serie diverge perché è minorata dalla serie armonica.

Studio il caso $x<1$ :
considerando che l'insieme di definizione è x>0, e usando lo sviluppo in serie, scrivo che $ log( x^n(1+1/x^n)) = x^n(1+ O(1)) $ (spero vada bene..) ! approssimo la serie iniziale a $ x^n/ n^x$.
Usando il criterio del rapporto ottengo che è convergente per x<1.

Quindi la serie è convergente per $02 $ ma è infinitesima solo per $x >=1$ ...non va bene! Ragazzi dove sbaglio?
scusate la lunghezza del post, ma ho scritto tanto in modo da farmi correggere il più possibile anche nei ragionamenti!
Sparate a zero... mi tengo forte alla sedia

[Seneca1]

Non ho controllato attentamente ma, tanto per dire, se $x = 0$ ...?

[MrMeaccia]

Ciao Seneca, grazie per aver risposto (stavo abbandonando le speranze ed ero pronto per il letto )!
Se fosse x=0 la serie di funzioni diventa la serie $ sum (-1)^n *log1 $ , convergente a zero.
cosa che non si vede dalla mia analisi..
Nonostante le ore passate su questo esercizio, ci sono delle cose che ancora non ho controllato..
Hai qualche dritta rapida da darmi? Così ho una strada da seguire domani quando mi ci rimetterò!
Comunque grazie!

[MrMeaccia]

Buongiorno a tutti! Riguardando l'esercizio, mi sono accorto che ho fatto un pasticcio con i limiti.. quindi riparto da lì!
Uso il criterio di Leibniz.

Cerco le x che rendono infinitesimo il termine generale della serie :
$ lim_(n -> oo) log (1+x^n)/n^x =0 $ . Quindi $ lim_(n -> oo) |f_n(x)| =0 $ per $ { ( |x|<1 ),( x>=1 ):} $ . Cioè è infinitesima $AA x > -1$.
Il dominio della funzione è $x^n> -1$, che è verificato $AA x$ se $ n $ è pari , e $AA x> -1$ se $ n $ è dispari.

A questo punto cerco le x che rendono la funzione decrescente risolvendo la disequazione
$|f_(n+1)(x)|<|f_(n)(x)|$

"MrMeaccia":
2) controllo che sia una serie di funzioni decrescente
$|f_(n+1) (x)|<|f_(n) (x)|$ .. cioè..
$ log (1+x^(n+1))/(n+1)^x poiché $ n/(n+1) -> 1$ per $ n->oo $
posso scrivere $ log(1+x^(n+1)) ..secondo voi è corretto questo passaggio?
Comunque ho rifatto i passaggi e (se sono giusti) mi viene ancora che la serie è decrescente per x<1.
Quindi da questo posso dire che la serie converge per $|x|<1$.
Rimane da studiare il caso $x>=1$

Se x=1 la serie diverge.

se x>1 $ sum log (1+x^n)/n^x = sum log (x^n(1/x^n +1))/n^x= sum (n*logx + log(1/x^n +1))/n^x = log x * sum 1/n^(x-1) $ che converge solo se l'esponente a denominatore è $x-1>1$ cioè converge per $x>2$.

Quindi la serie converge per $|x|<1$ e $x>2$.
Vi pare giusto? a me sembra corretto, ma un vostro parere mi farebbe molto piacere perché sono ancora abbastanza insicuro su questi esercizi..
comunque grazie
Mea.

[DajeForte]

$f_n(x)=(-1)^n (log(1+x^n))/(n^x)$

Prendi $-1
la quale se $n$ è pari hai $f_n(x)=n^{|x|} log(1+|x|^n)>0$
se $n$ è dispari hai che $f_n(x)=-(n)^{|x|} log(1-|x|^n)>0$

dunque non puoi applicare il criterio in questo caso.

[MrMeaccia]

Ciao DajeForte! Grazie per la risposta! Hai ragione! Allora riformulo la conclusione dell'esercizio considerando questa nuova situazione e poi studio la convergenza della serie per quell'intervallo!
Il resto dell'esercizio (escluso l'errore che hai sottolineato) ti sembra corretto?

Con il criterio di Leibniz posso dire che la serie converge per $0<=x<1$ e per $ x>2$.

Mentre nell' intervallo $-1 Ma per i criteri che ho adottato prima, posso dire che la serie non converge per queste x!

È corretto?

[MrMeaccia]

Ciao a tutti! Spero di non essere troppo insistente se ripropongo il mio problema..
Per evitare di farvi leggere tutti i post precedenti provo un attimo a riassumere l'esercizio.
Devo studiare la convergenza della serie $ sum((-1)^n) log(1+x^n)/n^x $
Visto che è una serie a termini alterni applico il criterio di Leibniz e trovo che :
1) la funzione è infinitesima per $AA x >= 0 $

la serie non è a termini alterni per $-1 < x < 0 $, come mi ha fatto notare DajeForte (grazie ).
Il dominio della funzione è x^n>−1, che è verificato ∀x se n è pari , e ∀x>−1 se n è dispari.

2 )la funzione è decrescente per $x<1$.
Quindi, per il criterio di Leibniz, la serie è convergente per $0<=x<1$

Rimangono da studiare i casi
$x=1$ : la serie diverge perché è minorata dalla serie armonica.
$x>1$ : la serie converge per $x>2$.
$-1 < x <0$ : in questo caso la serie è positiva e decrescente. Ho provato a usare il criterio del rapporto, ma il limite viene uguale a 1. Avete un'idea per capire se la serie converge o no in questo intervallo?
Soluzione: la serie converge per $0<=x<1$ e $x>2$.
Sono corretti i ragionamenti?
aspetto un vostro commento

[regim]

Basta un confronto con una serie armonica generalizzata con $alfa >1$ per riconsocere che converge, in fondo quella serie e' a termini positivi per $-1>x>0$, se poi poni $alfa =2$ dovresti avere anche l'uniforme convergenza in quell'intervallo. Ciao